使用 span 方式来理解矩阵的不可逆性

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使用 span 方式来理解矩阵的不可逆性

原创 围城里的猫 MathSpark 2024-06-04 08:03 陕西



我们有很多种方式来理解矩阵的不可逆性，每一种方式都代表一种理解，今天我们从线性张成角度来理解，不过在此之前，我们要先来解析一下矩阵乘法。

将矩阵乘法视为线性组合

通常的矩阵乘法我们是采用点积的观念来进行理解的，也就是说，取矩阵 A 中的一行，并将其与矩阵 B 中的一列相乘，得到 AB 中的一项：



我们暂时放弃这种典型的观点。看看如何以稍微不同的方式来理解矩阵乘法，以便一次就可以得到矩阵C的一列。这次我们看一下两个稍大一点的矩阵之间的乘法，以使这种新方法更加清晰一些。这个想法可以用于任何具有一致维度 (m×n) × (n×p) 的矩阵，但为了简单起见，我们将坚持使用方阵。



如果我们使用旧观点，来得到矩阵 C 的第一列，我们需要采用下面的步骤：



现在仔细检查这个矩阵中的每个项，我们能用另一种方式来表达吗？当然可以，因为它们有一些公共的项可以提出来：



你应该认识到这是一个线性组合，即三个向量分别乘以某个标量的组合。与所有线性组合一样，如果这三个向量都是独立的，那么这三个向量的 span 应该是整个三维空间。

理解不可逆性

矩阵的逆需要满足以下方程：



现在，我们来看看什么时候这个方法不起作用。我们取一个不可逆矩阵 A 。但事实上现在我们还不知道它是不可逆的，我们如何利用刚才的 span 和线性组合来理解它呢，现在假设我们能够找到它的可逆矩阵 E ,那么它应该满足下面的等式：



按照矩阵乘法的线性组合方式，我们可以将这个乘法视为线性组合。请记住，I 的第一列是 A 各列的组合。或者更一般地，AB 的第 j 列是 A 各列与 B 的第 j 列中每个元素作为标量的组合。让我们用这个列乘法形式来描述恒等式 I 的第一列。



类似地，我们可以利用 E 的第二列来得到恒等式的第二列。



由于向量保持不变，我们可以将其组合成以下命题。



将矩阵乘法解释为线性组合之后，我们现在以图形方式显示，我们的 span 没有办法包含 (1,0) 和 (0,1) 。



黄色向量为 (3, 6) ，红色向量为 (1, 2) ，绿色和蓝色向量为单位矩阵的列 (0, 1) , (1, 0) 。虚线表示这两个向量的 span 。

由于这两个向量是共线（平行）的，它们的线性组合是一维的——仅在灰色虚线上。与这些向量相乘的任何标量都不能创造出指向其他任何地方的新向量。

同样的逻辑可以应用于三维非可逆矩阵。在这种情况下，我们的 3×3 单位矩阵 I 的列（即 (1, 0, 0)、(0, 1, 0) 和 (0, 0, 1)）不会全部被 span 覆盖，即如果我们的矩阵中的一列是线性依赖的，我们的 span 将只是 3 维空间中的 2 维平面。



如果用红色平面表示具有一个相关向量的系统的 span ，则不可能将所有三个基向量都包含在该平面内。

随着我们对不可逆性的几何理解越来越深刻，寻找可逆矩阵的逆，也会变得越来越容易。



围城里的猫