请教：一个关于反正切函数的无穷级数

baijingqi

本人做地震研究相关工作，从断层运动中抽象出一个数学问题，是关于反正切函数的无穷级数无力解决请教各位:

Nicolas2050

参考之。

baijingqi

很感谢您的分享，我看明白了您给的证明过程。利用正切函数的三角函数将2/(n^2)分开为两部分，这样就可以裂项相消。
但我还没想明白这个能对我的问题有什么启发。我也在想想。
谢谢
@Nicolas2050

天山草

此问题等价于证明下面这个极限。其中 \( a, b \) 都是正数。\(\arctan 是反正切函数\)。



在主帖中令 \(a=x/p， b=x/q\) 即得到上式，这样就将三个变量 \(p，q，x\) 简化成了两个变量  \(a，b\)。

天山草

2# 楼的参考证明整理如下，是否能对本题有所帮助？

天山草

【初等数学讨论】的版主 kuing  发现，楼主那个原式:

当 n 以偶数趋向无穷大时等于 \(\frac{1}{2} arctan(\frac{x}{p}) - \frac{1}{2} arctan(\frac{x}{p+q})\);

当 n 以奇数趋向无穷大时等于\(\frac{1}{2} arctan(\frac{x}{p}) + \frac{1}{2} arctan(\frac{x}{p+q})\)。

经数字验证确实如此，因此楼主在主帖中的那个式子没有极限。

baijingqi

baijingqi

天山草 发表于 2022-1-15 20:59
【初等数学讨论】的版主 kuing  发现，楼主那个原式:

当 n 以偶数趋向无穷大时等于 \(\frac{1}{2} arcta ...

baijingqi

天山草 发表于 2022-1-15 20:59
【初等数学讨论】的版主 kuing  发现，楼主那个原式:

当 n 以偶数趋向无穷大时等于 \(\frac{1}{2} arcta ...

您好，感谢您，经过您和转述的初等数学讨论的版主 kuing 指点，命题中的n必须是正偶数
现在就要在n为正的偶数的前提下，证明等式，请看上面的帖子，

天山草

楼主可去【初等数学讨论】网站的下面这个网页看看，那里有关于你这问题的证明。
http://kuing.orzweb.net/viewthre ... %26amp%3Btypeid%3D4

关于原题为什么可由三元变量降为二元变量，见下图：