谁能解此数列

费尔马1

求数列的前n项和公式？
一、1*2*3*4*5+2*3*4*5*6+3*4*5*6*7+……+n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=?
二、1*2*3*4*……*(1+k）+2*3*4*5*……*(2+k）+3*4*5*6*……*(3+k）+………………+n(n+1)(n+2)(n+3)……(n+k)=?
其中，n、k为正整数，且k为常数。
老师们，主要是求出数列(二、）的前n项和公式，这是一个总的形式的数列。

费尔马1

数列(二、）的前n项和公式，是一个总的形式的数列，这个数列非常重要，根据这个数列可解任意正整数的高次幂级数。例如，
1^100+2^100+3^100+……+n^100=?
1^1000+2^1000+3^1000+……+n^1000=?
…………………………

费尔马1

平时，有证明哥猜的，有证明费大的，有证明黎曼的，有证明四色的……
与上述的世界难题比较之下，数列(二、)不是个难题吧？请大家解数列(二、)的前n项和公式？
注:数列(二、)，学生大约在20年前就解决了，这是一个重要公式，望数学界保留。
数列(二、)的求和公式，就是用含有n、k的代数式表示和Sn。

独舟星海

数列二的和是这类问题的通项形式。解决了数列二，套用即可获得数列一。这类问题在读高中时就已经解决了。只要组成项能构成等差数列都可解，包括它们的倒数形式。一个采用增项法（一个采用减项法，指它们的倒数形式的和值），这类问题的解决，也可以延伸到∑(\(n^m\))问题的求和上（推导出它们的公式）。

独舟星海

1*2*3*4*……*(1+k）+2*3*4*5*……*(2+k）+3*4*5*6*……*(3+k）+………………+n(n+1)(n+2)(n+3)……(n+k)={1*2*3*4*……*(1+k）*（2+k）+2*3*4*5*……*(2+k）*（3+k）-1*2*3*4*……*(1+k）*（2+k）+3*4*5*6*……*(3+k）*（4+k）-2*3*4*5*……*(2+k）*（3+k）+………………+n(n+1)(n+2)(n+3)……(n+k)*（n+1+k）-（n-1）*n(n+1)(n+2)(n+3)……(n+k)}/（k+2）=n(n+1)(n+2)(n+3)……(n+k)*（n+1+k）/（k+2），注从n到n+1+k共有k+2项相乘，实际上，第一项的末尾直接用k表示更好，表示k个连续自然数相乘，末项用n表示最好，有n项相加，直观而易于表达解释。

独舟星海

例如：1*2+2*3+3*4+......+n*（n+1）=n*（n+1）*（n+2）/3，（k=2，表示每项有2个自然数相乘，n项和相加），比这猫儿画虎，可以写出很多很多。

费尔马1

用数学归纳法证明:
1*2*3*4*……*(1+k）+2*3*4*5*……*(2+k）+3*4*5*6*……*(3+k）+………………+n(n+1)(n+2)(n+3)……(n+k)=〔1/(k+2)〕n(n+1)(n+2)(n+3)……(n+k）(n+k+1)

独舟星海

求1*3*5+2*4*6+3*5*7+4*6*8+....+n*（n+2）*（n+4）的和，用含n的表达式给出。

费尔马1

独舟星海 发表于 2021-8-5 08:10
求1*3*5+2*4*6+3*5*7+4*6*8+....+n*（n+2）*（n+4）的和，用含n的表达式给出。

求1*3*5+2*4*6+3*5*7+4*6*8+....+n*（n+2）*（n+4）的和，用含n的表达式给出。
此题中需注明n为偶数。
Sn=n(n^3+10n^2+29n+20)/4
请老师审核！谢谢老师！

费尔马1

独舟星海 发表于 2021-8-5 08:10
求1*3*5+2*4*6+3*5*7+4*6*8+....+n*（n+2）*（n+4）的和，用含n的表达式给出。

求1*3*5+2*4*6+3*5*7+4*6*8+....+n*（n+2）*（n+4）的和，用含n的表达式给出。
Sn=n(n+1)(n+4)(n+5)/4
其中，n既可以是偶数，也可以是奇数。
请老师审核！谢谢老师。