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发表于 2021-7-6 20:29
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本帖最后由 yangchuanju 于 2023-11-26 03:44 编辑
5.两筛法
5.1.简单比例两筛法
大偶数2n 表两数和的式子共有n 种,
2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=…=n+n
前项集合:A={ai}={1,2,3,…,n},
后项集合:B={bi}={2n-1,2n-2,2n-3,…,n},
两边(前项A ,后项B) 同时按引理1 的推论2 及定理4 ,筛除A ,B 中2,3,…,pk ( pk为小于等于√(2n)最大素数) 的倍数含量,两筛过程:其中2 的倍数成对出现,所以只要筛除A中2 的倍数就把B中2 的倍数带走了。这样筛2 的倍数含量时,只要一次按2 的倍数含量的比例1/2进行筛除即可(其余的是2n 倍数的,2 也都按照两次筛,作为加强了)得
n*(1-1/2)*(1-1/3-1/3)*(1-1/5-1/5)*(1-1/7-1/7)*…(1-1/pi-1/pi)
=n*1/2*1/3*3/5*5/7*…*(pi-2)/pi
5.2.加强比例两筛法:
依据引理1 的推论2, 引理2 ,引理4 ,两边(前项A ,后项B) 同时加强依次筛除A ,B中2,3,…,pk( pk为小于等于√(2n)最大素数) 的倍数含量,筛除2 ,3 的倍数时,用4/7和13/36代替原来的 2,3的倍数(含量)占有比例1/2,1/3,在筛除pi(i≥3)的倍数时,按照比例1/pi-1筛除,这种筛除方法我们称之为加强比例两筛法,简称两筛法。
易得n*(1-4/7)*(1-26/36)*(1-2/3)*(1-2/5)*(1-2/7)*…*(1-2/pi) ( pk为小于等于√(2n)最大素数)
由此易得,第一个算式:
3/7*n*5/18*1/3*3/5*5/7*9/11*…*(pi-1-2)/pi-1 ( pk≤√(2n)最大素数) (一)
5.3. 加强比例两筛法的另一应用:
小于n 的差为2 的数对,共有n-2 种形式:
2=3-1=4-2=5-3=6-4=…=n-(n-2)
前项集合:C={3,4,5,6,…,n},
后项集合:D={1,2,3,4,…,n-2},
两边(前项C,后项D) 同时加强筛除C,D中2,3,…,pk ( pk ≤ n 的最大素数) 的倍数含量,筛除2,3的倍数时,用4/7和13/36代替原来的2,3的倍数(含量)占有比例1/2,1/3,在筛除 pi(i≥3)的倍数时,按照比例1/pi-1筛除,则最后至少剩下
(n-2)*(1-4/7)*(1-26/36)*(1-2/3)*(1-2/5)*(1-2/7)*…*(1-2/pi) ( pk≤√n最大素数)
≥(n-2)*[3/7*5/18*1/3*3/5*5/7*9/11*…*(pi-1-2)/pi-1]( p ≤ √n的最大素数)个式子。
所以,小于n 的相差为2 的素数对
n*[3/7*5/18*1/3*3/5*5/7*9/11*…*(pi-1-2)/pi-1] - 2*[3/7*5/18*1/3*3/5*5/7*9/11*…*(pi-1-2)/pi-1]
= n*[3/7*5/18*1/3*3/5*5/7*9/11*…*(pi-1-2)/pi-1] - [6/7*5/18*1/3*3/5*5/7*9/11*…*(pi-1-2)/pi-1]
(后边中括号中的每一项都小于1,则乘积小于1)
>3/7n*5/18**1/3*3/5*5/7*9/11*…*(pi-1-2)/pi-1] -1 ( pk≤√n最大素数) (二)
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