“外积”、“向量积”、“楔积”、“张量积”和“叉积”等概念之间是什么关系呢？

fm1134

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“外积”、“向量积”、“楔积”、“张量积”和“叉积”等概念之间是什么关系呢？它们之间的区别和联系是什么呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/05/05 01:34pm 第 5 次编辑]

下面先引用两段我在网上找到的资料：
维基百科
http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A7%AF&variant=zh-cn
向量积，也被称为矢量积、叉积（即交叉乘积）、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。
与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。
定义
两个向量 a 和 b 的叉积写作 a×b （有时也被写成 a∧b，避免和字母 x 混淆）。叉积可以被定义为：
    a×b＝n│a││b│sinθ
在这里 θ 表示 a 和 b 之间的角度（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。
而 n 是一个与 a 和 b 均垂直的单位矢量。
这个定义有一个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于 a 和 b：若 n 满足垂直的条件，那么 -n 也满足。
“正确”的向量由向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系 (i, j, k) 的左右手定则。
若 (i,j,k) 满足右手定则，则 (a,b,a×b) 也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则。
一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：
若坐标系是满足右手定则的，则将右手的拇指指向第一个向量的方向，右手的食指指向第二个向量的方向，
那么结果向量的方向就是右手中指的方向。由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。
几何意义
叉积的长度 │a×b│ 可以解释成以 a 和 b 为边的平行四边形的面积。
进一步就是说，三重积可以得到以 a，b，c 为边的平行六面体的体积。
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维基百科
http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%A4%96%E4%BB%A3%E6%95%B0&variant=zh-cn
外代数
在数学上，给定向量空间 Ｖ 的外代数（英文：exterior algebra），也称格拉斯曼代数（Grassmann algebra），
是特定的酉结合代数，它包含 Ｖ 为一个子空间。它记为 Λ(Ｖ) 或 Λ*(Ｖ) 。而它的乘法，称为楔积或外积，记为 ∧ 。
楔积是结合的和双线性的；其基本属性是它在 Ｖ 上交替:
    v∧v＝0 ，对于所有向量 v ∈Ｖ 。
这表示
    u∧v＝－v∧u ，对于所有向量 u,v ∈Ｖ ，
以及
    v1∧v2∧…∧vk＝0 ，当 v1,v2,…,vk ∈Ｖ 线性相关时。
注意这三个性质只对 Ｖ 中向量成立，不对代数 Λ(Ｖ) 中所有向量成立。
外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。
这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。
Λ(Ｖ) 的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。
形式为 v1∧v2∧…∧vk 的元素，其中 v1,v2,…,vk 在 Ｖ 中，称为 k-向量。
所有 k-向量生成的 Λ(Ｖ) 的子空间称为 Ｖ的 k-阶外幂，记为 Λ^k(Ｖ)。
外代数可以写作每个 k 阶幂的直和: Λ(Ｖ)＝⊕Λ^k Ｖ
该外积有一个重要性质，就是 k-向量和 l-向量的积是一个 k+l-向量。
这样外代数成为一个分次代数（graded algebra），其中级别由 k 给出。
这些 k-向量有几何上的解释：2-向量 u∧v 代表以 u 和 v 为边的带方向的平行四边形，
而 3-向量 u∧v∧w 代表带方向的平行六面体，其边为 u, v, 和 w。
外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。
因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。
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从以上引用的内容可以看出，其实，这里有两种不同的概念和定义：
（1）第一种定义，认为 a×b 是一个与 a,b 都垂直的向量（伪向量）。
    所以，如果 c 是一个与 a,b 都垂直的向量，就会有 a×b×c＝0 。
（2）另一种定义，认为 u∧v 代表以 u 和 v 为边的带方向的平行四边形，
    而 u∧v∧w 代表带方向的平行六面体，其边为 u, v, 和 w 。
    所以，即使 w 是一个与 u,v 都垂直的向量，也不会有 u∧v∧w＝0 。

但是在所用名称和记号上，却把这两种不同的概念和定义混为一谈，没有明确地区分开来，造成很大的混乱。
比如，在前面引用第一段定义中，说：“向量积，也被称为矢量积、叉积（即交叉乘积）、外积”，
说：“两个向量 a 和 b 的叉积写作 a×b （有时也被写成 a∧b，避免和字母 x 混淆）”，
很容易给人一种印象：“外积”“楔积”就是“向量积”“叉积”，a×b＝a∧b ，两者没有任何区别。

为了避免混乱，我建议，应该把这两种不同的概念和定义，在名称和记号上严格地区分开来：
（1）称 a×b 为“向量积”、“矢量积”或“叉积”（不允许称为“外积”）。
     a×b 只适用于三维空间，a×b 表示一个在三维空间中与 a,b 都垂直的向量（伪向量）。
（2）称 a∧b 为“外积”、“外乘积”或“楔积”（不允许称为“向量积”）。

     a∧b 适用于任何 n 维空间，a∧b 在几何上表示一个以 a 和 b 为边的带方向的平行四边形，不是一个向量。

fm1134

非常感谢陆老师的解答！