[原创]揭开“拉曼纽扬系数”神秘的面纱

白新岭

[watermark]在歌德巴赫猜想专区，有Liudan发的帖子（王新宇  初等证明），说拉曼纽扬系数是靠特异功能感应到的，数学家们都不知道拉曼纽扬系数的来龙去脉，只是在用，没人去考证和研究拉曼纽扬系数，好像大数学家都默认。说什么，陈景润的“1+2”也是利用拉曼纽扬系数得到。
下面是我一直在想的一个问题：在2005年我刚接触哥德巴赫猜想时认为，偶数这么多，素数出现的又没有规律，怎么就能证明歌德巴赫猜想？所以当时就筛选出65536以内的素数，然后让任意2个素数做和，得到了65536以内偶数的实际素数对，非常有规律，每3个偶数都出现峰值，每15个还出现峰值，不过当时并不知道导致此现象的内因。后来，我在k个自然数和的分布问题上有了突破，或者说对任意系数线性多元不定方程的正整数解的组数有了更深的研究，并得到了一些有用的结论。
后来，在2008年开奥运会以后，公司没有什么业务，自己返回去再看2005的统计数据时（指65536以内的素数对），结合对多元线性方程的正整数解的组数研究中的一些结论，发现了这样的一个规律，对于任何一个大于1的自然数k来说，如果把自然数分为k类，然后去掉kn类数，用余下的k-1类数中的任意2个个体做和，则得到这样的结论：能整除k的自然数占总体合成类的1/（k-1),不能整除k的其余k-1类数，每类各占总体合成类的(k-2)/(k-1)^2.
实际上与k元群有关（自己不知道有关群的知识，只了解皮毛）上面的比例也是合成概率，而且对于互质的k值有各自独立性，可以说为独立条件概率，独立的m个条件各自概率对合成总概率为相乘关系，素数合成偶数是所有素数各自概率的乘积，因为自然数没有边界，无穷无尽，素数也无限多，所以没有周期，也就没有固定的概率了，总体数量与多条件合成概率的积为调配系数，调配系数与某数前的剩余个数的平方积/该数即为限定多个条件2元线性方程正整数解的近似值。此结论适合2素数合成偶数。一些试验数据会支持此论断（并非用素数合成偶数，用其他任何组合条件都可，我写过不被2，3整除数的合成，即x+y=n的正整数解问题（x,y不能被2，3整除），    未完待续。[/watermark]

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2009/03/27 11:02am 第 1 次编辑]

接主帖，没有与主帖连续，走了一个道岔，先解释一下调配系数与2元线性不定方程的正整数解的组数与限定定义域条件的关系。
某参考分类标准与合成类概率的积为：本分类标准的调配系数（当分类标准互素时，
各调配系数互相独立），每一个分类标准都是2种不相容的调配系数，非彼即此。
互素的2类标准以上的合成，调配系数为相乘关系。设某自然数前的剩余个体数量为
∩(x),调配系数为D(x),则2元方程的正整数解的组数为：D(x)*（∩(x)）^2/x
此公式适合任意限定定义域2元方程的正整数解的组数的求法.(给的限定条件为互素,
不能有大于1的共同因子).
现在举一些实际例子，有关调配系数方面的：
如按2作为分类标准，则合成类概率为：1/（2-1）=1，（能整除2的合成类概率）；另一种是（2-2）/（2-1）^2=0,(不能整除2的合成类概率),在自然数中只有这两种情况,不是能整除2的,就是能整除2的.  调配系数为2*1=2(能整除的),调配系数2*0=0(不能整除2的);
同理,按3作为分类标准,则合成类概率为：1/（3-1）=1/2，（能整除3的合成类概率）；另一种是（3-2）/（3-1）^2=1/4,(不能整除3的合成类概率),在自然数中只有这两种情况,不是能整除3的,就是能整除3的.  调配系数为3*1/2=1.5(能整除的),调配系数3*1/4=3/4(不能整除的);
同理,按10作为分类标准,则合成类概率为：1/（10-1）=1/9，（能整除10的合成类概率）；另一种是（10-2）/（10-1）^2=8/81,(不能整除10的合成类概率),在自然数中只有这两种情况,不是能整除10的,就是能整除10的.  调配系数为10*1/9=10/9(能整除的),调配系数10*8/81=80/81(不能整除的);这里给了一个合数的分类标准,这说明合成概率与调配系数适用于一切大于1的自然数(并非素数独有的性质),但是当多个分类标准时(或定义域限定多个条件时)要求不同分类标准之间不能有大于1的共同因子.
根据上面对,合成概率和调配系数的说明我们做一些实际2元线性不定方程题.
求:x+y=2n的正整数解的组数,x,y为未知数,n为正整数,x,y不能被2,3整除.
解:根据上面的分析说明,有2n能被2整除,所以调配系数为2,当n=3k时,调配系数为1.5,所以此时方程解的组数为:2*1.5*（∩(2n)）^2/2n=1.5*（∩(2n)）^2/n.
当n=3k±1时,调配系数为3/4,
所以此时方程解的组数为:2*3/4*（∩(2n)）^2/2n=0.75*（∩(2n)）^2/n.
在我发的帖子中:熊一兵笼统的给出了,n/6.  我说:走了近路.
五代业说:"这就是求哥猜须用３６种加法，１００有两种加法（有对称重复），９８也有两种加法（没有重复），而９６有三种加法（没有重复）！如果把尾数５去掉，它是前两数的３／２倍！"   

熊一兵

这个思路不错

白新岭

当然只有,扩到不能被2,3,5整除时,才有五代业先生的结论,把偶数分为15类,30n-28,3n-26,30n-24,30n-22,30n-20,30n-18,30n-16,30n-14,30n-12,30n-10,30n-8,30n-6,30n-4,30n-2,30n.
其实它们仅有4种情况,对于偶数来说只有一种调配系数2,3有2种调配系数3*1/2=1.5,3*1/4=3/4;5有2种调配系数,为5*1/4=5/4,5*3/16=15/16.这样总共有:1*2*2=4种情况,能被2,3,5整除的调配系数为:2*1.5*5/4=3.75,不能被2,3,5整除的调配系数为:2*3/4*15/16=1.40625,能被2,3整除的(不能被5整除)2*1.5*15/16=2.8125,能被2,5整除的(不能被3整除)2*3/4*5/4=1.875.把所有的调配系数*32得到,(3.75,1.40625,2.8125,1.875)*32=120,45,90,60=8,3,6,4(同时除15)=
4,1.5,3,2(同时除2),这样前面已列出的15类偶数对应比例关系为:3(-28),3(-26),6(-24),3(-22),4(-20),6(-18),3(-16),3(-14),6(-12),4(-10),3(-8),6(-6),3(-4),3(-2),8(0).

白新岭

当然我发的帖子:求不被2-29之间的素数整除的x,y方程x+y=2n正整数解是一样的.它有2^9=512种调配系数,最小调配系数为1.330276793(没有3,5,7,11,13,17,19,23,29因子的偶数),最大调配系数为6.331228751.
在这里已经看到孪生素数常数的影子1.330276793.(1.320....)
所以歌德巴赫猜想是一个无限分类标准的一种合成调配系数。在有限的范围内也是适用的，普遍的。前人已证明最小调配系数有极限值，所以偶数素数对有下限。调配系数没有上限。
根据任意限定定义域的条件下方程解的组数公式：调配系数*某自然数n前的剩余个体数量的平方/n
就可以得到求：偶数素数对的方法：调配系数*(n/LN(n))^2/n=调配系数*n/(LN(n))^2
在拉曼纽扬系数中规定了以小于根号n为界限，实际上我们可以以无穷大为条件，对于2^n类偶数来说，可用固定的调配系数0.660..，即孪生素数常数，当然对于2^n*3^m类的偶数也可以用固定调配系数，0.660..*2=1.320..。这样求出的偶数素数对都少于实际个数。

白新岭

任意一个大于或等于6的偶数近似素数对为：
孪生素数常数*Π（P-1)/(P-2)*n/(LN(n))^2,这里P是能整除n的素数，且大于或等于3，不限定P小于根号n.

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2009/03/28 10:53am 第 1 次编辑]

以下是我原发在：王新宇  的初等证明 （的评论）
楼主看来见多识广，知道的数学知识-更确切的说是有关哥德巴赫猜想方面的数学知识很多。我可是孤陋寡闻，除了大家都知道的故事：（陈景润与歌德巴赫猜想的故事）外，我是一无所知了。从去年8月份上网后，在中国数学在线上看到过懂信平提到过哈代-李特伍三个公式和数学中国中天山草提及偶数素数对的近似公式（哈代公式，说没有理论根据）外，你提到的“拉曼纽扬系数”是最新的。这里又说此系数来源蹊跷，是用特异感觉功能发现的。还说数学家都不知它的来龙去脉。我对你的说法（指拉曼纽扬系数的来龙去脉和数学家对它的看法及使用）有些怀疑，对哈代-李特伍公式说没有理论根据也不确信。难道，世界上这么多的数学家就真的说不清弄不明一个哈代公式或者说“拉曼纽扬系数”吗？它们是一脉相承分不开的问题。
如果你有兴趣，可以研究一下连续2个素数差2的概率问题（也就是孪生素数问题-哈代公式）。再者，你研究一下对于任意的不小于1的自然数k来说，把自然数分为k类，然后去掉kn类数，用其余类的2个个体的和构成的新个体落到不同类的概率问题。举一个例子，如果把自然数分为2类，即2n类和2n-1类这两类，然后去掉2n类数，用2n-1类数中的2个个体的和只能得到2n类的数，不能得到2n-1类的数，所以得到2n类数的概率为100%，得到2n-1类数的概率为0.当分成3类，4类，5类时会有什么结果呢？当无限制的，多条件时又会出现什么结果呢？搞清楚了，自然能理解哈代-李特伍公式和拉曼纽扬系数。

白新岭

今天从维基百科中查资料，里面没有拉曼纽扬这位科学家，有拉马努金这位科学家，从字里行间没有拉曼纽扬系数的介绍，不过此人与liudan描写的人物非常相，真是一位少出的数学奇才。

熊一兵

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E9%A9%AC%E5%8A%AA%E9%87%91
拉馬努金（泰米爾語：ஸ்ரீநிவாச ராமானுஜன்，拉丁字母轉寫：Srinivasa Aiyangar Ramanujan）（1887年12月22日－1920年4月26日），印度數學家。沒受過正規的高等數學教育，沉迷數論，尤愛牽涉π、質數等數學常數的求和公式，以及整數分拆。慣以直覺（或者是跳步）導出公式，不喜作證明（事後往往證明他是對的）。他留下的那些沒有証明的公式，引發了後來的大量研究。1997年，《拉馬努金期刊》(Ramanujan Journal)創刊，用以發表有關「受到拉馬努金影響的數學領域」的研究論文。
生平
[編輯] 童年和早年生活
拉馬努金生於印度東南部泰米爾納德邦的埃羅德。在1898年十歲的時候，進入貢伯戈訥姆一所中學，在那裡他似乎第一次接觸到正規的數學。在11歲時，他已經掌握了住在他家的房客的數學知識，他們是政府大學的學生，到13歲，他就掌握了借來的高等三角學的書里的知識。他的傳記作家稱他的天才在14歲時開始顯露。他不僅在他的學生歲月里不斷獲得榮譽證書和獎學金，他還幫學校處理把1200個學生(各有不同需要)分配給35個教師的後勤事務，他甚至在一半的給定時間內完成測驗，還已經顯示出對無窮級數的熟練掌握；他那時的同校的人後來回憶說"我們，包括老師，很少可以理解他，"並對他"敬而遠之"。但是，拉馬努金在其他科目無法集中注意力，並在高中考試中不合格。在他生活的這個時段，他也相當窮困，經常到了挨餓的地步。

[編輯] 在印度的成年階段
因為結了婚，他必須找到工作。帶著他的數學計算能力，他在真奈（舊稱馬德拉斯）到處找抄寫員的工作。最後他找到了一個工作，並在一個英國人的建議下和劍橋的研究人員聯繫。
作為真奈總會計師事務所的職員，拉馬努金奢望可以完全投入到數學中而不用作其他工作。他懇請有影響的印度人給予支持，並在印度數學期刊上發表了一些論文，但並未成功找到經濟支持。到這個時候，慕克吉(Ashutosh Mukherjee)爵士試圖支持他的事業。
在1913年拉馬努金發了一長串複雜的定理給三個劍橋的學術界人士貝克(H. F. Baker)、霍布森(E. W. Hobson)、哈代(G. H. Hardy)，只有三一學院的院士哈代注意到了拉馬努金定理中所展示的天才。
讀著不知名和未經訓練的印度數學家的突然來信，哈代和他的同事利特爾伍德(J.E. Littlewood)評論道，「沒有一個定理可以放到世界上最高等的數學測試中。」雖然哈代是當時著名的數學家而且是拉馬努金所寫的其中幾個領域中的專家，他還是說很多定理"完全打敗了我；我從沒見過任何象這樣的東西。"
作為他的成果的一個例子，拉馬努金給出了漂亮的連分數,
}-
其中 是黃金分割。

[編輯] 在英國的生活
在起初的一些懷疑過後，哈代回信給了一些評論，要求其中一些發現的證明，並開始計劃將拉馬努金帶到英國。作為正統的婆羅門，拉馬努金諮詢了他的旅行的星象，因為處於宗教的考慮到外國去他可能失去他的種姓。拉馬努金的母親做了個夢，其中家族女神告訴她不要阻攔她兒子的行程，所以他制定了行程，雖然他痛苦的儘力保持婆羅門的生活方式。
富有成果的合作開始了，哈代將之描述為"我一生中最浪漫的事件"。哈代評論拉馬努金的公式，有些他起先不能理解，他說"只要看它們一眼就知道只有第一流的數學家才能寫下它們。它們肯定是真的，因為如果不是的話，沒人能有足夠的想象力來發明他們。"哈代在艾狄胥對他的一次採訪中說他自己對數學最偉大的貢獻是發現了拉馬努金，並把拉馬努金的天才比作至少和數學巨人歐拉和雅可比(Carl Jacobi)的相當。拉馬努金後來成為三一學院的院士，並得到了科學界最高級別的榮譽，英國皇家學會會員(FRS)。

[編輯] 疾病和返回印度
健康問題困擾他一生，在遠離家鄉的國度，過度投入研究工作，拉馬努金的健康在英國急劇惡化，可能壓力讓事情變得更糟，還有第一次世界大戰時蔬菜的稀缺。他被診斷為肺結核(Henderson, 1996年)，以及嚴重維生素不足，但1994年由楊格(Dr. D.A.B Young)進行的對拉馬努金的醫療紀錄和癥狀的分析結論為更可能他有肝變形蟲病，一種感染肝臟的寄生蟲。拉馬努金在真奈待了很長時間這一事實進一步證實這一點，那是這種疾病廣泛傳播的沿海城市。那在當時是很難診斷的疑症，但一旦診斷當時已可治愈(Berndt, 1998年)。他于1919年返回印度，之後不久便在貢伯戈訥姆去世，他對這個世界最後的禮物是拉馬努金θ函數的發現。他的妻子賈納姬(S. Janaki Ammal)在以外生活，直至1994年逝世。結婚時賈納姬才九歲，在當時的印度這是相當常見的(Henderson, 1996年)

[編輯] 精神生活
拉馬努金終生過著婆羅門的生活。關於他實際信仰的觀點有很多區別:他的第一個印度傳記作者把他描述為一個嚴格正統的婆羅門，而哈代(堅定的無神論者)相信他在涉及到形上學的方面基本上是一個不可知論者。
哈代報導了拉馬努金的一個斷言說所有宗教一樣正確。卡尼蓋爾(Robert Kanigel)的傳記則稱拉馬努金可能不會給哈代看到他宗教的一面；另一方面來講，卡尼蓋爾通常描寫哈代的負面形象。
拉馬努金將他的理解歸功於他的家族女神納馬吉里（毗濕奴的第四化身），並在他的工作中向她尋求靈感。他經常說：「一個方程對我沒有意義，除非它代表了神的一個想法。」

[編輯] 數學成就
在數學上，有洞察力和有一個證明是很不相同的。拉馬努金的天才給出了大量的公式，可以再深入研究，開啟了新的研究方向。這些公式的例子有圓周率的一些引人入勝的無窮級數，其中一個是：

這和如下事實相關：

他提出對所有 θ

此處Γ(z)代表伽傌函數。
比較恆等式兩邊θ之不同冪的係數，就可以得出雙曲正割的許多恆等式。

哈代這樣評論拉馬努金：
「 他的知識的缺陷和它的深刻一樣令人吃驚。這是一個能夠發現模方程和定理的人……直到前所未聞的地步，他對連分數的掌握……超出了世界上任何一個數學家，他自己發現了ζ函數的泛函方程和解析數論中的很多著名問題的主導項；但他卻沒有聽說過雙周期函數或者柯西定理，對複變函數只有最模糊的概念…… 」

[編輯] 定理和發現
這些包括拉馬努金自己的發現，和那些在和哈代的合作中發展和證明的定理
高度合成數的性質
整數分割函數和它的漸近線
拉馬努金θ函數
他也在下列領域做出重大突破和發現：
伽傌函數
模形式
發散級數
超幾何級數
質數理論
他的發現異常豐富；也就是說，很多發現比它們出看起來要豐富得多。

[編輯] 拉馬努金猜想和它的作用
雖然很多命題都可以稱為拉馬努金猜想,有一個特別適合這個稱號，它在後續工作中非常有影響。拉馬努金猜想是一個斷言，這是關於τ-函數的係數大小的，而那是一個模形式理論中的典型尖形式(cusp form)。這在幾十年後被證明為魏爾猜想的證明的一個結果；歸約步驟是很複雜的。

[編輯] 拉馬努金的筆記
當他還在印度時，拉馬努金在三本活頁紙筆記上記錄了很多結果。結果被寫下來，但沒有推導。這可能是對拉馬努金不能證明自己的結果而只是直接想到最後結果的誤解的起源。Berndt在他對這些筆記和拉馬努金的工作的評論中，感到拉馬努金幾乎肯定能夠對他絕大部分的結果作出證明，只是選擇了不做證明。
這種工作風格可能有幾個原因。因為紙在那時很貴，拉馬努金在寫字石板上進行了他大部分的工作可能還有他的證明，然後只將結果轉移到紙上。在當時的印度，使用寫字板對於數學的學生來講很常見。他也可能受一本書的影響——他大部分的高等數學知識的來源卡爾(G. S. Carr)的《純數學和應用數學概要》(Synopsis of Pure and Applied Mathematics)，這是卡爾用來教授數學的。它總結了幾千個結果，不帶證明的給出了它們。最後，可能拉馬努金認為他的工作只是給他自己的個人興趣用的；所以只記錄了結果。(Berndt, 1998)
第一本筆記有351頁，大約16個有某種組織的章和一些無組織的材料。第二本筆記有256頁，散布在21章和100個無組織頁面中。第三本有33個未組織的頁面。他筆記本中的結果激發了大量論文，由後世企圖證明他的發現的數學家所寫。哈代自己也寫了挖掘拉馬努金工作中的材料的論文，就像沃森(G. N. Watson)、威爾遜(B. M. Wilson)和伯恩特(Bruce Berndt)所作的一樣。(Berndt, 1998)

[編輯] 評價
拉馬努金是個如此偉大的數學家以至於他的名字超越了嫉妒，他是印度在過去一千年中所出的超級偉大的數學家。他的直覺的跳躍甚至令今天的數學家感到迷惑，在他死後70多年。他的論文中埋藏的秘密依然在被挖掘出來。他的定理被應用到他活著的時候很難想象到的領域。(引自卡尼蓋爾所著傳記《知無涯者：拉馬努金傳》第3頁)
[編輯] 軼事
拉馬努金病重，哈代前往探望。哈代說：「我乘計程車來，車牌號碼是1729，這數真沒趣，希望不是不祥之兆。」拉馬努金答道：「不，那是個有趣得很的數。可以用兩個立方之和來表達而且有兩種表達方式的數之中，1729是最小的。」（即1729 = 13+123 = 93+103，後來這類數稱為的士數。）利特爾伍德回應這宗軼聞說：「每個整數都是拉馬努金的朋友。」

[編輯] 參看
Ramanujan-Peterssen猜想
1729 (數)
朗道-拉馬努金常數
Ramanujan-Soldner常數
拉馬努金滾盾(Ramanujan Rolling Shield)
拉馬努金θ函數
拉馬努金圖
拉馬努金τ函數
羅傑斯-拉馬努金恆等式
[編輯] 延伸閱讀
Collected Papers of Srinivasa Ramanujan ISBN 0821820761
The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan by Robert Kanigel ISBN 0671750615 （中譯本：《知無涯者：拉馬努金傳》；羅伯特‧卡尼蓋爾著；胡樂士、齊民友譯；上海科技教育出版社；2002）
[編輯] 參考資料
An overview of Ramanujan';s notebooks by Bruce C. Berndt, in Charlemagne and His Heritage: 1200 Years of Civilization and Science in Europe, Volume 2: Mathematical Arts, P. L. Butzer, H. Th. Jongen, and W. Oberschelp, editors, Brepols, Turnhout, 1998, pp. 119-146, (22 pg. pdf file)
Modern Mathematicians, Harry Henderson, Facts on File Inc., 1996
[編輯] 外部連結
The Ramanujan Journal
探求「無限」奧秘的數學家 一Srinivasa Ramanujan，顏一清，數學傳播季刊第 27 卷 第 3,4 期[1][2]
取自"http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E6%8B%89%E9%A9%AC%E5%8A%AA%E9%87%91&variant=zh-tw"
4個分類: 1887年出生 | 1920年逝世 | 20世紀數學家 | 印度數學家

白新岭

在最近研究最密k生素数群的数量问题时，又熟练的运用了k生素数式，分析其分布情况，和普通近似值公式，使我对素数式这个数学模型有了更深刻的认识。以前，仅仅知道素数的一切问题与它（k生素数式---它是k生素数代数式的简称，也是自己的杜撰，意思是把在一定条件下，可以产生素数的位置（用an+b的形式表示，如果a,b互质，就可以产生素数，否则只能产生合数，我把特定条件下，能产生素数的位置（代数式）称为素数式，相对的，可以把仅产生合数的代数式（或位置）称为合数式，当素数式位置代表多个连续素数出现的位置时称为k生素数式，它是研究k生素数群的数量，加减法合成运算的基本元素，或者说是基本的群元素，数学模型，数学工具。