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楼主: fmcjw

我确信找到了费尔马所称的“绝妙”证法修改版

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 楼主| 发表于 2016-8-26 14:55 | 显示全部楼层
陈善 发表于 2016-8-26 10:13
如果x^3+y^3是一个立方数,那么(x+y)^2[(x+y)-3xy/(x+y)]中的[(x+y)-3xy/(x+y)]就必为正整数,

讨论:[( ...

x^3+y^3=b/a(x+y)^3                 (b<a)                                                (1)'

                 z^3=x^3+y^3=b/a(x+y)^3

                    z=(x+y)(b/a)^1/3                                                                               (1)''
因为b/a<1,所以(b/a)^1/3<<1,又因为b<a,可令b=a-r得
  z=(x+y)[(a-r)^1/3/a^1/3]
(a-r)^1/3与a^1/3不可能都是正整数。
因为a=(x+y)^2,b=(x+y)^2-3xy
所以,
z=(x+y){[(x+y)^2-3xy]^1/3/(x+y)^2/3}
由于(x+y)^2-3xy与(x+y)^2不可能同为立方数,因此,分子与分母必有其一为无理数。故,n=3,x,y为正整数时z恒为无理数。因此,当xyz均为正整数时
z^3=/=x^3+y^3
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 楼主| 发表于 2016-9-5 02:04 | 显示全部楼层

X^p +Y^p= (X+Y)[X^p-1+Y ^p-1_X^p-2Y_XY^p-2+X^p-3Y^2+X^2Y^p-3_...+-X^(p-1)/2*Y^(p-1)/2 ]
可知,
(X+Y)[X^p-1+Y ^p-1_X^p-2Y_XY^p-2+X^p-3Y^2+X^2Y^p-3_...+-X^(p-1)/2*Y^(p-1)/2 ]
表示两个正整数的积,我们怎样才能判断这个积是不是一个正整数的p次幂呢?由于
(X+Y)[X^p-1+Y ^p-1_X^p-2Y_XY^p-2+X^p-3Y^2+X^2Y^p-3_...+-X^(p-1)/2*Y^(p-1)/2 ]与
(X+Y)^2{[X^p-1+Y ^p-1_X^p-2Y_XY^p-2+X^p-3Y^2+X^2Y^p-3_...+-X^(p-1)/2*Y^(p-1)/2 ]/(X+Y)}   (p)
是恒等的,但是,由
(X+Y)^2{[X^p-1+Y ^p-1_X^p-2Y_XY^p-2+X^p-3Y^2+X^2Y^p-3_...+-X^(p-1)/2*Y^(p-1)/2 ]/(X+Y)}
可知,它也表示两个数的积,但是不一定是两个正整数的积。当且仅当
[X^p-1+Y ^p-1_X^p-2Y_XY^p-2+X^p-3Y^2+X^2Y^p-3_...+-X^(p-1)/2*Y^(p-1)/2 ]/(X+Y)
为正整数时它才是两个正整数的积,也就是当且仅当X+Y能够整除X^p-1+Y ^p-1_X^p-2Y_XY^p-2+X^p-3Y^2+X^2Y^p-3_...+-X^(p-1)/2*Y^(p-1)/2时它才是两个正整数的积
因此,我们由
X^p +Y^p=(X+Y)^2{[X^p-1+Y ^p-1_X^p-2Y_XY^p-2+X^p-3Y^2+X^2Y^p-3_...+-X^(p-1)/2*Y^(p-1)/2 ]/(X+Y)}
就可判断X^p +Y^p的p次根不可能是正整数。因为X+Y能够整除X^p-1+Y ^p-1_X^p-2Y_XY^p-2+X^p-3Y^2+X^2Y^p-3_...+-X^(p-1)/2*Y^(p-1)/2的条件是
x=[(p-1)y]
或者
y=[(p-1)x],
代入
(X+Y)^2{[X^p-1+Y ^p-1_X^p-2Y_XY^p-2+X^p-3Y^2+X^2Y^p-3_...+-X^(p-1)/2*Y^(p-1)/2 ]/(X+Y)}
或者
X^p +Y^p
中得
X^p +Y^p=y^p(p-1)^p+Y^p
                =y^p[(p-1)^p+1]
所以
z=(X^p +Y^p)^1/p
=y[(p-1)^p+1]^1/p
=/=R(R表示正整数)
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