我确信找到了费尔马所称的“绝妙”证法

王成5

楼主说“即
              x^3+y^3=(x+y)A
                           =xA+yA
由上式必得
x^2 =A；y^2=A。（因x+y=x*x^2/A+y*y^2/A)”
其实上面的推导是错误的，不妨举个例子
   3^3+2^3=(3+2)A=3A+2A，按照楼主的推导就应有
    3^2=A;  2^2=A   所以 就有 3=2 这可能吗？

fmcjw

王成5 发表于 2016-5-20 17:59
楼主说“即
              x^3+y^3=(x+y)A
                           =xA+yA

我的推导
x^3+y^3=(x+y)A
             =xA+yA
中，正是要说明当x^3=xA时，A必等于x^2，同时又必等于y^2这样荒缪的结果，所以，A不能也不可能等于一个平方数。这就证明A=x^2+y^2-xy不可能是平方数。

fmcjw

fmcjw 发表于 2016-4-30 12:22
首先谢谢先生对本文的关注！先生的观点“对于 (2) 式，x^3 + y^3 是不会等于 (x + y)^3 的！”是非常正确 ...

根据完全立方数的唯一代数表达形式z^3=(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y).这个等式说明当我们用两个正整数来表示一个完全立方数时，表达式z^3=(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)是唯一正确的代数表达式。仅由此一理由其实就可以说明或证明z^3=/=x^3+y^3。因为
x^3+y^3=(x+y)（x^2+y^2-xy)
             =x（x^2+y^2-xy)+y（x^2+y^2-xy)
            =/=x^3+y^3+3xy(x+y),
所以    =/=z^3

fmcjw

王成5 发表于 2016-5-7 19:18
楼主说：“若：(x+y)(x^2+y^2_xy)等于一个立方数，那么只有在(x^2+y^2_xy)等于(x+y)^2时才成立。”  为什么 ...

楼主说：“若：(x+y)(x^2+y^2_xy)等于一个立方数，那么只有在(x^2+y^2_xy)等于(x+y)^2时才成立。”  为什么？请楼主给出详细的证明过程。如果给不出证明过程，只能说明楼主是用猜想证猜想。
     不过，若楼主说的是对的，即(x+y)^2=x^2-xy+y^2   就有
      3xy=0     那么 x，y必有一个是个0，这显然不是我们要求的非平凡解。
回复王成5先生：
若：(x+y)(x^2+y^2_xy)等于一个立方数，那么只有在(x^2+y^2_xy)等于(x+y)^2时才成立。”为什么呢？因为：
如果(x^2+y^2_xy)不等于(x+y)^2，那么(x+y)(x^2+y^2_xy)等于一个立方数的条件就正如先生的假设——当(x+y)等于r^3;(x^2+y^2_xy)=g^3时，(x+y)(x^2+y^2_xy)=（rg）^3.但是，这是可以证明不成立的。
证明如下：
当假设(x+y)等于r^3时则
x=r^3-y代入(x^2+y^2_xy)得
(x^2+y^2_xy)=（r^3-y）^2+y^2-（r^3-y）y
                     =r^6-2r^3y+y^2+y^2-yr^3+y^2
                     =r^6-3r^3y+3y^2
                     =r^6-3y（r^3-y）
显然，这里的r^6-3y（r^3-y）就不可能是一个完全平方数。因为当我们由两个正整数r，y来表示一个完全平方数时只存在唯一的表达式：r^2+2ry+y^2.所以r^6-3y（r^3-y）就不可能是一个完全平方数。
从而有
x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2_xy)
             =r^3[r^6-3y（r^3-y）]
             =r^9-3r^3y（r^3-y）
             =r^9-3r^6y+3r^3y^2
             =(r^3)^3-3(r^3)^2y+3r^3y^2
因由r^3与y表示一个完全立方数时只能是如下形式：
（r^3+y）^3==(r^3)^3+3(r^3)^2y+3r^3y^2+y^3
或者
（r^3-y）^3==(r^3)^3-3(r^3)^2y+3r^3y^2-y^3
所以
x^3+y^3=(r^3)^3-3(r^3)^2y+3r^3y^2
          =/=（r^3+y）^3
         =/=（r^3-y）^3
即
x^3+y^3=/=z^3

王成5

楼主说：“显然，这里的r^6-3y（r^3-y）就不可能是一个完全平方数。因为当我们由两个正整数r，y来表示一个完全平方数时只存在唯一的表达式：r^2+2ry+y^2.所以r^6-3y（r^3-y）就不可能是一个完全平方数。”
  其实r^6-3y(r^3-y)是不是一个立方数，还需要其他的证据，仅凭楼主上面的判断是站不住脚的，楼主认为r,y表示一个完全平方数只有唯一的表达式：r^2+2ry+y^2。但是上面的结论并不是唯一的，如：r^2-ry+y^2,当r=1,y=1时，r^2-ry+y^2=1就是一个完全平方数。

fmcjw

由x^3+y^3==(x+y)(x^2+y^2-xy)必定得出x==y时此式才能成立，从而证明z^3==2x^3
或者z^3==2y^3，所以z不可能为正整数，故z^3=x^3+y^3不可能有正整数解。
证明：
因
        x^3+y^3==(x+y)(x^2+y^2-xy)
所以
x+y==（x^3+y^3）/(x^2+y^2-xy)
     ==(x^3/x^2+y^2-xy)+(y^3/x^2+y^2-xy)
     ==x(x^2/x^2+y^2-xy)+y(y^2/x^2+y^2-xy)
显然，当x^2/x^2+y^2-xy=1，y^2/x^2+y^2-xy=1时上式才能成立，因此必有
          x^2=x^2+y^2-xy；
          y^2=x^2+y^2-xy。
即
         y^2-xy=y(y-x)=0
         x^2-xy=x(x-y)=0
又因x=/=0,y=/=0,所以若要y(y-x)=0，x(x-y)=0，则只有x==y。这就证明
        x^3+y^3==2x^3=z^3
或者
        x^3+y^3==2y^3=z^3
所以
z=y2^1/3
或
z=x2^1/3
也就是说n=3,x,y为正整数时z必恒为无理数，故方程x^3+y^3=z^3没有也不可能有正整数解。

fmcjw

X^p +Y^p= (X+Y)[X^p-1+Y ^p-1_X^p-2Y_XY^p-2+X^p-3Y^2+X^2Y^p-3_...+-X^(p-1)/2*Y^(p-1)/2 ]
                =(X+Y)^2{[X^p-1+Y ^p-1_X^p-2Y_XY^p-2+X^p-3Y^2+X^2Y^p-3_...+-X^(p-1)/2*Y^(p-1)/2 ]/(X+Y)}
也可知，其实X^p +Y^p还可以表为
X^p +Y^p==(X+Y)^p{[X^p-1+Y ^p-1_X^p-2Y_XY^p-2+X^p-3Y^2+X^2Y^p-3_...+-X^(p-1)/2*Y^(p-1)/2 ]/(X+Y)^p-1}          [I]
因为
         [X^p-1+Y ^p-1_X^p-2Y_XY^p-2+X^p-3Y^2+X^2Y^p-3_...+-X^(p-1)/2*Y^(p-1)/2 ]<(X+Y)^p-1
所以
        [X^p-1+Y ^p-1_X^p-2Y_XY^p-2+X^p-3Y^2+X^2Y^p-3_...+-X^(p-1)/2*Y^(p-1)/2 ]/(X+Y)^p-1<1
可令
{[X^p-1+Y ^p-1_X^p-2Y_XY^p-2+X^p-3Y^2+X^2Y^p-3_...+-X^(p-1)/2*Y^(p-1)/2 ]/(X+Y)^p-1}=A/B     
则式[I]变为
                   X^p +Y^p==A/B(X+Y)^p        (A<B)                                                 [I]'

式[I]'表示两个不同正整数的p次幂之和等于这两个正整数和的p次幂与一个分数的积，因此，X^p +Y^p不可能是一个正整数的p次幂。
若
                   z^p=X^p +Y^p==A/B(X+Y)^p
则
                       z=(X+Y)(A/B)^1/p                                                                         [I]''
所以z恒为无理数。

xfhaoym

在年青时我对这个问题证过部分结论。那是年青好胜，不知量力！没有一定数论基楚的人来说，不要浪费时间了！

fmcjw

xfhaoym 发表于 2016-8-19 15:25
在年青时我对这个问题证过部分结论。那是年青好胜，不知量力！没有一定数论基楚的人来说，不要浪费时间了！

可惜了！坚持科学探索的精神不是先生认为的那样“年青好胜，不知量力！”没有一定数论基楚的人来说，也不是先生认为的是在浪费时间！请问先生：
三百多年来具备数论基础的大数学家有多少？他们也“浪费”了不少时间！可至今也未解决此命题。要知道，提出此命题的费尔马先生自己就是一个伟大的“民科”啊！