正 17 边形尺规作图的高斯作法

denglongshan

听说只能作费马数正多边形

elim

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蔡家雄 发表于 2020-3-10 07:38
费马合数 F=2^32+1 则不能。

这点已被 Gauss-Wantzel 定理所概括。真正有意思的问题是：
1）如何给出这个定理的初等证明
2）对尺规可作的正多边形, 如何优化已知的作图方法。

欧拉如何用因式分解证明费马数F5是合数
证明令 a=2^7,b=5,则 a-b^3=128-125=3,
F5=2^(2^5)+1=2^32+1=(2a)^4+1=16a^4+1=(1+3×5)a^4+1
   =(1+(a-b^3)b)a^4+1=(1+ab-b^4)a^4+1=(1+ab)a^4-a^4×b^4+1
   =(1+ab)a^4-(a^2×b^2+1)(a^2×b^2-1)=(1+ab)a^4-(a^2×b^2+1)(ab+1)(ab-1)
   =(ab+1)(a^4-(a^2×b^2+1)(ab-1))=641×6700417