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[这个贴子最后由luojinpu8556在 2009/05/16 07:41am 第 2 次编辑]
[watermark] :em02: 费马数、梅森数、素数
一
法国数学家费马于1640年提出了以下猜想:
形如2^2^n+1(n属于N)的数叫费马数。可以发现 F0=2^2^0+1=3, F1=2^2^1+1=5, F2=2^2^2+1=17, F3=2^2^3+1=257,F4=2^2^4+1=65537, F5=2^2^5+1=4294967297,前5个是质数,因为第6个数实在太大了,费马认为是质数。由此提出(费马没给出证明)形如Fn=2^2^n+1 的数都是质数的猜想。
1732年,欧拉算出F5=641*6700417,不是质数,宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式以后,人们又陆续找到了不少反例,如n=6时,F6=2^2^6+1=274177*67280421310721,不是质数。至今这样的反例共找到了46个,却还没有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是质数.甚至有人猜想：费马数当N>4时全是合数!
时至今日，人们只发现了五个费马数为素数，即F0= 3， F1= 5 ， F2=17 ， F3=257 ， F4=65537，下列46个费马数Fn=f(n)当
n= 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12， 13，14，15， 16， 18， 19， 21，23， 25， 26， 27， 30， 32， 36， 38， 39， 42，52，55， 58， 63， 73， 77， 81，117，125，144， 150， 207， 226， 228， 250， 267， 268， 284， 316， 452， 1945时皆为合数。
早已经有人证明，费马数的因数必然是2ˇ（n+2)k+1形，注：（n+2)是右上标。例如n=5时，4294967297=(128x5+1)x(128x52347+1).其中128就是2的7次方。即5+2次方。
实际上几百年来,数学家们一直在寻找这样的一个公式,一个能求出所有质数的公式;但直到现在,谁也未能找到这样一个公式,而且谁也未能找到证据,说这样的公式就一定不存在;这样的公式存不存在,也就成了一个著名的数学难题.。参见百度百科“素数普遍公式”和“孪生素数普遍公式”。那里有可以构造一切素数的普遍公式呢？
虽然费马数作为一个关于指数公式的尝试失败了,但有意思的是,1801年数学家高斯证明:如果费马数K为质数,那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.高斯本人就根据这个定理作出了正十七边形.
二
所谓梅森素数,是以17世纪法国修道士M.梅森的名字命名的。梅森在1644年出版的著作<<物理数学随感>>的序言中宣称,对于n=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257,数Mn=2n-1是素数,而对于其他所有小于257的数n,Mn是合数。但是,这里出现了5个错误,M67,M257不是素数,而M61,M89,M107是素数。显然,要使Mn是素数,n本身必须是素数,但是反过来,n是素数,Mn却不一定是素数,例如虽然11是素数,可是M11=2047=23X89是合数。
时至今日,人类认识找到了42个梅森素数，前18个梅森素数是n=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217时的Mn=2n-1。下表列出了从1961年以来所发现的全部梅森素数（摘自http://www.utm.edu/research/primes/）：
序号 素数 位数 序号 素数 位数
19 2^4253-1 1281 20 2^4423-1 1332
21 2^9689-1 2917 22 2^9941-1 2993
23 2^11213-1 3376 24 2^19937-1 6002
25 2^21701-1 6533 26 2^23209-1 6987
27 2^44497-1 13395 28 2^86243-1 25962
29 2^110503-1 33265 30 2^132049-1 39751
31 2^216091-1 65050 32 2^756839-1 227832
33 2^859433-1 258716 34 2^1257787-1 378632
35 2^1398269-1 420921 36 2^2976221-1 895932
37 2^3021377-1 909526 38 2^6972593-1 2098960
39 2^13466917-1 4053946 40 2^20996011-1 6320430
41 2^24036583-1 7235733 42 2^25964951-1 7816230
三
费马数与新的费马素数
1.我们研究发现有费马素数新的定理：若2^n+1为素数，则2^2^n + 1必为素数( n属于N)。
继承弘扬创新古中华传统文化思想，我们研究八卦数论发现当年费尔马猜想整数 Fn=2^2^n + 1 (n属于N) 是素数缺少一个相对的题设条件“2^n +1 （n属于N）是素数”。
单从费马数本身去研究费马数，是无法发现(或判定)存在无穷多的费马数是素数与素数成链及链系无穷的。换言之，不了解2^n 的幂的四象性是历史上的不足。本定理所揭示的数学性质正是整数的积幂四象八卦性质的贴切体现。
中外古典哲学称“天不变，道亦不变”，“一生二，二生三，三生万物”，“三是万物的形体”。依据费马素数新定理“若2^n +1为素数，则2^2^n+1必为素数（n属于N）”，有
1) 以素数2为链首的素数有
若2^0 + 1是素数，则2^2^0+1必为素数，即素数3 ；
若2^1 + 1是素数，则2^2^1+1必为素数，即素数5；
若2^2 + 1是素数，则2^2^2+1必为素数，即素数17；
若2^4 + 1 是素数，则2^2^4+1必为素数，即素数65537；
若2^16 + 1 是素数，则2^2^16+1=2^65536 +1必为素数；
若2^65536 +1是素数，则2^2^65536+1必为素数；
………………
若2^2^…^2^65536+1（指数上的指数有k个2）是素数，则2^2^…^2^2^265536+1（指数上的指数有k+1个2）必为素数。
………………
2) 以素数257为链首的素数有
若2^8 +1 是素数，则2^2^8+1必为素数， 即2^256 + 1为素数；
若2^256 +1是素数，则2^2^256+1必为素数；
若2^2^256+1是素数，则2^2^2^256+1必为素数；
………………
若2^2^…^2^256+1（指数上的指数有k个2）是素数，则2^2^…^2^2^256+1（指数上的指数有k+1个2）必为素数；
………………
类似的素数链有无穷多个，如上所列举的费马数为素数的整数亦有无穷多个，即存在着无穷大费马数素数。
2．费马数素数链的性质。符合上述素数新定理题设条件与结论的素数具有下述性质：
1) 素数的链索性
2 → 3 → 5 → 17 → 65537 → 2^65536 + 1 → ……
2) 素数成链，链索系无穷
257 → 2^256 + 1 → 2^2^256 + 1→ 2^2^2^256 + 1 ……
又是另一素数链；
3) 同一素数链中，链首素数确定后，后继素数亦具唯一性，且不同链系中的素数是各不相同的。
* 只要有大型计算机如上的素数是可以计算出来的，也许还可以找到更大的新素数！
3．费马素数新定理的证明 （待续）
[/watermark][br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 luojinpu8556 在 时添加 -=-=-=-=-
3.(续)费马素数新定理的证明
为了証明本定理，必须要熟练掌握河图洛书、先后天太极八卦图及其对正整数自然分系，掌握整数六神奇数系与整数八大素合数系的一系列性质以及2^ n的幂的四象性。
証明：可分三步进行。因
2^2^n+1= [2^2×2^(n-1)-1]+ 2= [2^2^(n-1)+1][2^2^(n-1)-1]+ 2
= [2^2^(n-1)+1] [2^2^(n-2)+1][2^2^(n-2)-1]+ 2
=[2^2^(n-1)+1][2^2^(n-2)+1] [2^2^(n-3)+1][2^2^(n-3)-1] + 2
= ……………
= [2^2^(n-1)+1][2^2^(n-2)+1] [2^2^(n-3)+1]…(2^2+1)(2+1)(2-1) + 2 ，
即 2^2^n= (2-1)(2+1)(2^+1)(2^4+1)… [2^2^(n-3)][2^2^(n-2)][2^2^(n-1)]+ 2
…………………… (1)
由(1)式知，若2^2^n+1为非素数，则必有
[2^2^(n-i)+1]整除（2^2^n） (i = 1，2，3…，n) ………………… (2)
其中因子[2^2^(n-i)+1]为（2^2^n+1）的和前的“同方幂和”因子。若和前的“同方幂和”[2^2^(n-i)+1]为合数时，设其因子为Pi(i=1，2，……，k) ，亦必有
Pi整除（2^2^n+1） (i = 1，2，3，…， k ) …………… (3)
或者，存在异于(2)、(3)式中的因子外的整数因子Qj (j = 1，2，3，……，k)，仍必有
Qj整除（2^2^n+1） (j = 1，2，3，…，k) …………… (4)
这里Qj称之为（2^2^n+1）的和外因子。
显然，当(2)、(3)、(4)式任一式成立时，则整数（2^2^n+1）必为合数；反之，(2)、(3)、(4)式同时不成立，则（2^2^n+1）必为素数。
第一步 由（1）式，必有
[2^2^(n-i)+1] 不整除(i = 1，2，3，…，n ) …………… (5)
这就証明了整数（2^2^n+1）不含有和前的任一同方幂和因子[2^2^(n-i)+1]，即不含因子3、5、7、17、257、…、[2^2^(n-i)+1]；
第二步 因为 ｛2^2^n+1｝真包含于 ｛2^n +1｝，
又 (2^n+1)属于{3+6n}， 或 (2^n +1)属于{5+6n}，
所以，和前同方幂和因子 [2^2^(n-i)+1] 可能是素数或为合数，若 [2^2^(n-i)+1] 为合数时，
设 [2^2^(n-i)+1] = P1·P2 …Pi (i = 1，2，3，…，k， k≤n)
仍由(1)式，亦必有
Pi不整除（2^2^n+1） (i = 1，2，3，…，k k≤n) ………… (6)
这就証明了整数｛2^2^n+1｝不含有和前的任一同方幂和因子 [2^2^(n-i)+1]的合数因子Pi ；
第三步 在题设2^n +1为素数的前提条件下，欲証整数[2^2^(n-i)+1]不含任一和外的外因子Qj( j = 1，2，3，……，k)，须给出如下的引理：
引理：2的同底既约多项式乘积的项数等于各因式项数之积，且其积必为合数。
若2的同底既约多项式乘积的结果是一个关于2的同底完全降幂多项式，则该多项式又可并写成2的同底二项式。且2的同底二项式的指数加1必等于乘积的项数。
一般地，任意同底既约多项式乘积的项数等于各因式项数之积，且其积必为合数。例如
2^2^5+1=2^32+1=2^31+2^30+2^29+2^28+2^27+2^26+2^25+2^24+2^23+2^22+2^21+2^20+2^19+2^18+2^17
+2^16+2^15+2^14+2^13+2^12+2^11+2^10+2^9+2^8 +2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2+2+1
=(2^9+2^7+1)+(2^16+2^14+2^7)+ (2^17+2^15+2)+(2^31+2^30+2^29+2^28+2^27+2^26
+2^25+2^24+2^23+2^22+2^21)+ (2^20+2^19+2^18+2^13+2^12+2^11+2^10)
=(2^9+2^7+1)+2^7(2^9+2+1)+2^8(2^ 9+2+1)+2^22(2^9+2^7+1)
+2^21(2^9+2^7+1)+2^11(2^9+2^7+ 1)+2^27+2^26+2^25+2^24+2^23+2^19+2^ 13+2^12+2^10
=(2^9+2^7+1)(2^22+2^21+2^11+2^8+ 2^7+1)+2^27 +2^26+2^25 +2^24+(2^22+ 2^21+ 2^20+2^19
+2^18+2^17+2^17)+2^19+2^13+2^12+2^10
=(2^9+2^7+1)(2^22+2^21+2^11+2^8+2^ 7+1)+2^18(2^9+2^7+1)+2^17(2^9+2^7+ 1)+2^13(2^9+2^7+1)
+2^12(2^9+2^7+1)+ 2^10(2^9+ 2^7+1)
=(2^9+2^7+1)(2^22+2^ 21+2^18+2^17+2^13+2^12+2^11+2^10+2^9+2^7+1)
=641×6700417 ………………………… (7)
即
(2^9+2^7+1)(2^22+2^ 21+2^18+2^17+2^13+2^12+2^11+2^ 10+2^8+2^7+1)
= 2^31+2^30+2^29+2^28+2^27+2^ 26+2^25+2^24+2^23+2^22+2^21+2^20 +2^19+2^18+2^17+2^16+2^15
+2^14+2^13+2^12+ 2^11+2^10+2^9+2^8+2^7+2^6+2^ 5+2^4+2^3+2^2+2+2+1=2^32+1
…………………………… (7)
(7)中，一个2的同底既约三项式与另一个2的同底既约十一项式的乘积，是一个2的同底31次方完全降幂三十三项式。据引理必有
3×11=33=32+1
是一个合数。换一个角度看，其规律可概述为：
一个2的同底二项式合数，可以表示为降一次幂的一个2的同底完全降幂多项式，该多项式的项数等于其同底二项式合数的指数加1。
下面，我们继续作进一步的分析証明：
∵ ｛2^n+1}真包含于{2^n+1} （n属于N） ……………… (8)
∴ 整数（2^2^n+1）与整数(2^n +1) 的积幂四象性同一，故只须进一步研究｛2^n+1｝的整数性质。 又 ∵ 2^n 的幂的四象性规律为
2^(4k+1) 属于｛2+30n｝真包含于｛2+6n｝，
2^（4k+2）属于｛4+30n｝真包含于｛4+6n｝，
2^（4k+3）属于｛8+30n｝真包含于｛2+6n｝，
2^（4k+4）属于｛16+30n｝真包含于｛4+6n｝
(k、n 属于 N)
∴ 对整数系｛2^n +1｝（n属于N）存在下列关系：
当 n=4k+1时 ，必有
｛2^n +1｝=｛2^（4k＋1)+1}真包含于｛3+30n｝真包含于｛3+6n｝，
当 n=4k+2时 ，必有
｛2^n+1｝=｛2^（4k＋2)+1｝真包含于｛5+30n｝真包含于｛5+6n｝，
当 n=4k+3时 ，必有
｛2^n+1｝=｛2^（4k＋3)+1｝真包含于｛9+30n｝真包含于｛3+6n｝，
当n =4k+4时， 必有
｛2^n+1}=｛2^（4k＋4)+1｝真包含于｛17+30n｝真包含于｛5+6n｝ (k、n属于N)
………………………… (9)
由素数分布规律知，在(9)中，地数系｛3+30n｝只有3是唯一素数，地数系｛5+30n｝只有5是唯一素数，地数系｛9+30n｝的全部整数均为合数，地数系｛17+30n｝中有无穷多的素数与无穷多的合数(由本定理的証明同时可得到这一结论)。
于是可知，整数系｛2^2^n+1｝中的素数全部属于整数系｛2^n + 1｝，且全部都是 2 的同底二项式素数 。 逆向思考，当｛2^n+ 1｝中的素数确定后，它与整数系｛2^2^n +1｝中的整数必为素数的自在联系在哪里?回答这个问题的答案只能在整数的八卦性质中去寻求。要証明的是素数问题，但还必须研究相应数系中的合数的规律性。否则，任何努力将是徒劳的。
易知
2^2^n+1=2^(2^n-1) +2^(2^n-2)+2^(2^n-3)+…+2^3+2^2 +2 +2 +1 …………… (10 )
（10）的右式是2的同底(2^n －1)次完全降幂多项式，其项数必等于 (2^n+1)项。
显然，整数系｛2^n+1｝(nN)是素合数系，其中的整数或为素数或为合数。因此，
若2^n +1为素数，则 (10)式的右式项数
2^n +1 不恒等于 Pi·Pj (Pi、Pj 是素数) ……………… (11)
若2^n +1为合数 ，则(10)式的右式项数
2^n +1 ＝ Ri·Rj· … · Rk (R i 、Rj 、…、Rk 是素数) ………… (12)
(11)与(12)两式严格区别的意义不在它们本身，而在于依据整数八卦性去区别相应数系中整数的素合性方面的特别作用。
前面对 (9) 式进行了分析，可据 2^n 的幂的四象性，抛开地数系｛3+30n｝、｛5+30n｝、｛9+30n｝ (n属于N)外，只须在地数系｛17+30n｝（n属于N）中去探求结论。又依据整数八卦素合数系的积幂同一性法则，必有相应地数系之间积的下列关系成立：
(7+30n＇) (11+30n＂) 属于｛17+30n｝
(13+30n＇) (29+30n＂) 属于｛17+30n｝
(19+30n＇) (23+30n＂) 属于｛17+30n｝
(31+30n＇) (17+30n＂) 属于｛17+30n｝ (n＇、n＂、n属于N)
………………………… (13)
由前面所証知，(13)式中所反映出的合数是地数系｛17+30 n｝(nN)中合数的全体。
毫无疑义，整数2^2^n + 1、 2^n + 1是素数的问题 (除去2、3、5三极素数外)只须在地数系｛17+30n｝(nN)中去研究。为了証明“ 若2^n + 1为素数，则2^2^n + 1 (nN)必是素数”这一问题，绝不能只在科学问题本身上兜圈子，即不能只为了証明素数而証明素数问题，必须一反常规跳出原有圈子之外，从研究整数系的整体性质上去进行探索，只须要分析研究地数系｛17+30n｝(nN)中的合数的存在性及其规律即可，这正是八卦科学的奥秘所在。
(13)式左式的八个整数因子所属的八大素合数系是本步証明的关键，它们均可作如下的变形：
7+30n= 2^2 +2 +1+ (2^4+2^3+2^2+2)n，
13+30n= 2^3+2^2 +1+ (2^4+2^3+2^2+2)n，
19+30n= 2^4+2 +1 +(2^4+2^3+2^2+2)n，
31+30n= 2^4+2^3+2^2+2+1+(2^4+2^3+2^2+2)n，
11+30n= 2^3+2+1+(2^4+2^3+2^2+2)n，
17+30n= 2^4+1+(24^+2^3+2^2+2)n，
23+30n= 2^4+2^2+2 +1+(2^4+2^3+2^2+2)n，
29+30n= 2^4+2^3+2＾2+1+(2^4+2^3+2^2+2)n (n属于N)
………………………………… (14)
(14)这组式子说明，这组八大素合数因子均可表示为2的同底既约多项式，除去2的同底二项数外(第1步已証， 2、3、5、17均是2的同底二项素数)，全是2的同底二项以上的多项式，且全部是整数2＾2＾n + 1的和外因子。所以(13)式的地数系｛17+30n｝中的八卦合数均可表示为两个关于2的同底既约多项式之积，又都必能写成一个关于2的同底降幂多项式，其中有且仅有两类性质相对的多项式，一类是2的同底完全降幂多项式；另一类是2的同底不完全降幂多项式。二者的区别在于：凡是2的同底完全降幂多项式则可合并成关于2的同底二项式，且是一个2的同底二项式合数，其最高指数加1必为合数，恰好等于2的同底完全降幂多项式的项数；凡是2的同底不完全降幂多项式则不能合并成关于2的同底二项式，只能是 2 的同底三项以上的 多 项 式，这一类合数无一能等于，不属定理所証。
设(14)中的八个2的同底既约多项式的项数相应为P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7、P8项，则(13)中的合数(7+30n＇)(11+30n＂)、(13+30n＇)(29+30n＂)、(19+30n＇)(23+30n＂)、(31+30n＇)(17+30n＂) 的项数就相应为P1·P5、P 2·P8 、P3·P 7、 P4·P6 项。
又由(14)知，无论n取任一正整数，八卦素合数系的任一素数，必是2的同底三项及三项以上的多项式素数。而２的同底二项式素数是整数系｛2 n + 1｝的特有素数。
据定理题设条件，即若2 n + 1为素数，则有
2^2^n+1= 2^(2^n-1)+2^(2^n-2)+2^(2^n-3)+…+2^3+2^2 +2 +2 +1 …………… (15)
设(15)右式的项数为P，由引理知P等于2^n + 1 (P为素数)。
若地数系｛17+30 n｝中的乘积是关于2的同底完全降幂多项式时，其项数相应为
P1·P5 、P2·P8 、P3·P7 、P4·P6 项，又必能合并成2的同底二项式，同底二项式所对应的最高指数分别加1，就相应等于P1·P5 、 P2·P8 、P3·P7 、P4·P6 。故恒有
P1·P5不恒等于P， P2·P8不恒等于P，
P3·P7不恒等于P， P4·P6不恒等于P
∴ 2^(P1·P5 -1)不恒等于2^2^n, 2^(P2·P8 -1)不恒等于2^2^n，
2^(P3·P7 -1)不恒等于2^2^n 2^(P4·P6 -1)不恒等于2^2^n,
∴ 2^(P1·P5 -1)+ 1不恒等于2^2^n + 1 ，
2^(P2·P8 -1)+ 1不恒等于2^2^n + 1 ，
2^(P3·P7 -1)+ 1 不恒等于2^2^n+ 1 ，
2^(P4·P6 -1)+ 1 不恒等于2^2^n+ 1 (n属于N)
………………………………… (16)
(16)的4式恒成立。
由上述分析推理証明知，地数系｛17+30n｝中的合数无一等于2^2^n + 1，这就証明了 2^2^n + 1 不含和前的任一外因子Qj(j=1，2，…，k)。
所以，综合上述三大步的証明一定有，当2^n +1为素数时， 2^2^n +1 必为素数。
本素数新定理証毕。
附记：关于素数定理的一些猜想
作为整数性质的科学，可以毫不掩饰地说：古中国的太极八卦图是活化了的整数性质科学。上述素数定理的証明，是我们对太极八卦科学粗浅认识的一个尝试。为了走近《易经》科学，对东方古老神秘的科学进行深刻广泛的探索，同时也是为了获得真诚赐教，我们在此冒昧提出下述假设：
假设1 若2^n + 1是素数，则6^2^n + 1必是素数；
假设2 若2^n + 1是素数，则10^2^n + 1必是素数；
假设3 若2^n + 1是素数，则3^2^n + 2^2^n必是素数；
假设4 若2^n + 1是素数，则5^2^n + 2^2^n必是素数；
假设5 若2^n + 1是素数，则15^2^n + 2^2^n必是素数；
假设6 若2^n + 1是素数，则17^2^n + 2^2^n必是素数；
假设7 若2^n + 1是素数，则11^2^n + 6^2^n必是素数；
假设8 若2^n + 1是素数，则10^2^n + 7^2^n必是素数；
…………………
研究的实践告诉我们：对于八卦科学的深刻认识只能建立在对著名科学问题的解决之中。换言之，著名科学问题的最终解决只能在八卦科学中寻求答案。
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我们的文章《费马数、梅森数、素数》提出的观点与猜想，请专家、教授评说。
中国研究科学的思维方式与西方的的思维方式有区别也有联系。继承弘扬创新古传统科学文化思想，与现在倡导的科学发展观亦密切相关。
《易经》是自然科学与社会科学的典范，研究的实践证明：《易经》也是数学科学。我们研究易经数学三十余年，认识到古中国的太极八卦图是宇宙数学模式图，是宇宙“三太”变通科学。
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