[原创]《大偶数所分成的素对数量的上下限的计算》

愚工688 · 发表于 2014-3-1 17:49

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《大偶数所分成的素对数量的上下限的计算》
在依据Eratosthenes筛法（简称埃氏筛法）——x不能被≤√x的所有素数整除即为素数的原理，用小于√
(M-2)的所有素数2，3，…，r （r为其中最大的素数，下均同）来判断A-x 与 A+x 是否都是素数，得到如下2个
条件：
条件a：A-x与A+x同时不能够被≤r的所有素数整除时，两个数都是素数；
条件b：A+x不能够被≤r的这些素数整除，而A-x能被其中某素数整除但商为1，两个数也都是素数。
若把偶数M的符合条件a的x值在区间[0，A-3]个数记为S1(m)，符合条件b的x值的个数记为S2(m)，由上述的
两个条件，即可得到偶数M分成两个素数的全部分法数量S(m)，有
S(m)=S1(m)+S2(m)  ,{式1}
而 S1(m)=Sp(m)/ [1+δ(m)] ,{式5}——Sp(m)为S1(m)的概率计算值，δ(m)为相对误差(下面用E(m)表示)。
Sp(m)=(A-2)*K(m)* P(m)min=(A-2)* K(m)*(1/2)(1/3)(3/5)(5/7)(9/11)*…*[(r-2)/r] ,{式7} ----连乘式子
式中，K(m)为该偶数的素因子系数，K(m)= kn1* kn2 *…；
这里kn1=(n1-1)/(n1-2)，kn2=(n2-1)/(n2-2)，…；3 ≤ n1，n2，…,≤r； n1，n2等均为A的素因子。
因此有S1(m)=(A-2)*K(m)* P(m)min/[1+E(m)] ,{式8}
再对{式8}的连乘式子中引进小于最大素数r的全部奇合数，使计算式子能够约分而得到化简:
即有  S1(m)=(A-2)*K(m)*F(m)*(1/2)(1/3)(3/5)(5/7)(7/9)(9/11)*…*[(r-4)/(r-2)][(r-2)/r]/[1+E(m)]
         =[(M-4)/(4r)]*K(m)*F(m)/[1+E(m)]  ,{式9}
式中，合数因子系数F(m)=f(m1)*f(m2)*…≥1；
这里 m1、m2、…为小于r的全部奇合数，f(m1)=m1/(m1-2)，f(m2)=m2/(m2-2) ，
就是{式1}可以如下表示：
S(m) = [(M-4)/(4r)]*K(m)*{F(m)/[1+E(m)]}+S2(m)；{式10}
在{式10}中，S2(m)≥0，对于大偶数来说，S2(m)在全部素对中所占的比例比较小，而可以略去；而(M-4)/
(4r)＞≈√M/4;
因此{式10}可以化为更加简单的形式:
S(m) ≈ (√M/4)*K(m)*{F(m)/[1+E(m)]};  {式11}
  在这个式子中,唯一不能计算的项是相对误差E(m),而上面的化简又使得相对误差中包含了新的不确定的因素。
但是上面的化简对真实的相对误差的影响又很小，即对于E(m)的分布区间影响不大。于是通过 {式11}，我们有
可能对大偶数的素对的上下限作出判断。
1.对相对误差E(m)的估计
先看6万以下的误差分布情况：
1.1 相对误差 E(m)分区分布(6--60000)
相对误差 E(m)分区分布(6--60000)
E(m):             <-.2 , [-.2~-.1) , [-.1~0) , [0~.1] , (0.1~.2] , (.2~.3] , >.3
--------------------------------------------------------------------------------
[ 6 , 1000 ]       20    90       201    125       39       13    10
[ 6 , 10000 ]       24    288    2731    1755    169       20    11
[ 10002 , 20000 ] 0    8       2568    2404    20       0       0
[ 20002 , 30000 ] 0    0       1538    3445    17       0       0
[ 30002 , 40000 ] 0    0       1243    3742    15       0       0
[ 40002 , 50000 ] 0    0       853    4126    21       0       0
[ 50002 , 60000 ] 0    0       579    4407    14       0       0
1.2 对相对误差作的统计计算：（E1-平均值，E2-标准偏差）
M=[ 6 , 10000 ]    R= 97 ,, n= 4998 , E1=-.01 , E2= .07 , E(min)=-.5 ,,, E(max)= 1.286
M=[ 10002 , 20000 ] , R= 139 , n= 5000 , E1= 0 ,,, E2= .04 , E(min)=-.137 , E(max)= .141
M=[ 20002 , 30000 ] , R= 173 , n= 5000 , E1= .01 , E2= .03 , E(min)=-.088 , E(max)= .151
M=[ 30002 , 40000 ] , R= 199 , n= 5000 , E1= .02 , E2= .03 , E(min)=-.087 , E(max)= .123
M=[ 40002 , 50000 ] , R= 223 , n= 5000 , E1= .02 , E2= .03 , E(min)=-.074 , E(max)= .125
M=[ 50002 , 60000 ] , R= 241 , n= 5000 , E1= .03 , E2= .02 , E(min)=-.059 , E(max)= .127
依据统计计算数据,在偶数增大时,误差E(m)向区间[0~.1]集中，并且平均值E1有逐渐增大的趋势;不计一万以下的偶数的相对误差分布情况，故偶数在一千万以上时概率计算的相对误差分布范围估计为：
E(m)=0.15±0.05；
在计算下限时取最大值，计算上限时取最小值。
2. 合数因子系数 F(m)对应于r值不变的偶数区间是个常量,摘录如下:
292 -- 362             r=  17    F(m) =  1.484
[1.484 =（9/7)（15/13）]--由小于r值的全部奇合数组成.
999002452 -- 1000267130 r=  31607 F(m) =  244.8822
1999073524 -- 2000683442  r=  44711 F(m) =  324.2585
2999424292 -- 3000081530  r=  54767 F(m) =  382.6784
3999424084 -- 4000183010  r=  63241 F(m) =  430.5287
4999762684 -- 5000894090  r=  70709 F(m) =  471.8756
3. 素因子系数 K(m)最小为1,即处于下限位置的偶数的K(m)=1；
K(m)大值则由偶数含有的小素数组合形成，一般处于区域偶数的素对的高位。
例：2×3×5×7×11×13×17×19×23＝223,092,870
它的K(m)=(2/1)(4/3)(6/5)(10/9)(12/11)(16/15)(18/17)(22/21)= 4.5894
而 2×3×5×7×11×13×17×19×23×29＝6,469,693,230  ，
因此在2.23亿与64.69亿之间偶数的最大K(m)= 4.5894 。
4.对大偶数所分成的素对的上下限的计算
求：偶数十亿，二十亿，三十亿，五十亿前后各100个偶数中的素对数目的上下限：
4.1 下限的计算：
偶数10亿的下限为：√1000000000/4*244.8822 /（1+0.20）=1613303
偶数20亿的下限为：√2000000000/4*324.2585 /（1+0.20）=4272481
偶数30亿的下限为：√3000000000/4*382.6784 /（1+0.20）=4366700
偶数50亿的下限为: √5000000000/4*471.8756 /（1+0.20）=6951384
4.2 再计算上限:（由于K(m)= 4.5894 的偶数分布稀少，且误差分布在0以下的大偶数也少，故上限被触及的现
象应该不会发生。）
在10亿附近偶数的素对上限为：√1000000000/4*4.5894 *244.8822/（1+0.10）=10695340
在20亿附近偶数的素对上限为：√2000000000/4*4.5894 *324.2585/（1+0.10）=15125495
在30亿附近偶数的素对上限为：√3000000000/4*4.5894 *382.6784/（1+0.10）=21862396
在50亿附近偶数的素对上限为: √5000000000/4*4.5894 *471.8756/（1+0.10）=3163902
5.结束语
大偶数所分素对数量的上下限的计算就举例到此处。正确与否大家可以评判。毕竟，就算是数学家在这方面也没
有多少可以摆得上台面的东西。而我这里至少数据不会变了，各个数据的来历也交代清楚了，就作为抛砖引玉罢
！有能力计算大偶数的素对的朋友们，有兴趣时可以验证一下，看看是否正确。
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愚工688 · 发表于 2014-3-2 19:25

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计算示例
我的电脑以及程序不适合超过千万的偶数的运算(太慢)，举个51万的例子。
依据式子：S(m) ≈ (√M/4)*K(m)*{F(m)/[1+E(m)]};  {式11}

查  F(m)：有  F(m) =  13.5222
502684 -- 516962          r=  709    F(m) =  13.5222
偶数在十万与一百万之间时可以设定相对误差为：E(m)=0.15±0.05;
素因子系数 K(m)最小为1；最大值则依据偶数的大小而可能含有的小素数组合而不同。例：
2×3×5×7×11×13×17＝510510
它的K(m)=(2/1)(4/3)(6/5)(10/9)(12/11)(16/15)= 4.1374 ,
而 K(m)=(2/1)(4/3)(6/5)(10/9)(12/11)=3.8788 ，因此在510000与510510之间偶数的最大K(m)＜ 3.8788。(480480的K(m)= 3.8788)
求：偶数510000前后各50个偶数的可分素对的上下限：
在509900--510100  中间，下限为：√510000/4*13.5222/（1+0.20）=2012
上限为：√510000/4*3.8787*13.5222/（1+0.10）=8513
实例：计算用了20来分钟,计算了一半的偶数，到510000。全部在上下限范围内。
M= 509900  S(m)= 3097  S1(m)= 3079 Sp(m)= 3241.61  E(m)= .05 K(m)= 1.33 r= 709
M= 509902  S(m)= 2394  S1(m)= 2383 Sp(m)= 2453.94  E(m)= .03 K(m)= 1.01 r= 709
M= 509904  S(m)= 4571  S1(m)= 4538 Sp(m)= 4862.45  E(m)= .07 K(m)= 2    r= 709
M= 509906  S(m)= 2319  S1(m)= 2306 Sp(m)= 2443.96  E(m)= .06 K(m)= 1.01 r= 709
M= 509908  S(m)= 2770  S1(m)= 2758 Sp(m)= 2917.49  E(m)= .06 K(m)= 1.2    r= 709
M= 509910  S(m)= 6417  S1(m)= 6384 Sp(m)= 6792.08  E(m)= .06 K(m)= 2.79 r= 709
M= 509912  S(m)= 2477  S1(m)= 2463 Sp(m)= 2652.29  E(m)= .08 K(m)= 1.09 r= 709
M= 509914  S(m)= 2305  S1(m)= 2290 Sp(m)= 2449.28  E(m)= .07 K(m)= 1.01 r= 709
M= 509916  S(m)= 5113  S1(m)= 5077 Sp(m)= 5402.85  E(m)= .06 K(m)= 2.22 r= 709
M= 509918  S(m)= 2296  S1(m)= 2285 Sp(m)= 2431.29  E(m)= .06 K(m)= 1    r= 709
M= 509920  S(m)= 3079  S1(m)= 3062 Sp(m)= 3241.74  E(m)= .06 K(m)= 1.33 r= 709
M= 509922  S(m)= 5946  S1(m)= 5915 Sp(m)= 6267.93  E(m)= .06 K(m)= 2.58 r= 709
M= 509924  S(m)= 2292  S1(m)= 2279 Sp(m)= 2431.32  E(m)= .07 K(m)= 1    r= 709
M= 509926  S(m)= 2313  S1(m)= 2298 Sp(m)= 2431.33  E(m)= .06 K(m)= 1    r= 709
M= 509928  S(m)= 4662  S1(m)= 4636 Sp(m)= 4862.68  E(m)= .05 K(m)= 2    r= 709
M= 509930  S(m)= 3026  S1(m)= 3004 Sp(m)= 3241.8 E(m)= .08 K(m)= 1.33 r= 709
M= 509932  S(m)= 2459  S1(m)= 2442 Sp(m)= 2593.45  E(m)= .06 K(m)= 1.07 r= 709
M= 509934  S(m)= 4736  S1(m)= 4710 Sp(m)= 5001.67  E(m)= .06 K(m)= 2.06 r= 709
M= 509936  S(m)= 2868  S1(m)= 2849 Sp(m)= 3045.24  E(m)= .07 K(m)= 1.25 r= 709
M= 509938  S(m)= 2819  S1(m)= 2803 Sp(m)= 2947.14  E(m)= .05 K(m)= 1.21 r= 709
M= 509940  S(m)= 6142  S1(m)= 6105 Sp(m)= 6483.73  E(m)= .06 K(m)= 2.67 r= 709
M= 509942  S(m)= 2283  S1(m)= 2272 Sp(m)= 2431.41  E(m)= .07 K(m)= 1    r= 709
M= 509944  S(m)= 2357  S1(m)= 2343 Sp(m)= 2431.42  E(m)= .04 K(m)= 1    r= 709
M= 509946  S(m)= 4621  S1(m)= 4595 Sp(m)= 4862.85  E(m)= .06 K(m)= 2    r= 709
M= 509948  S(m)= 2278  S1(m)= 2267 Sp(m)= 2431.44  E(m)= .07 K(m)= 1    r= 709
M= 509950  S(m)= 3937  S1(m)= 3913 Sp(m)= 4113.89  E(m)= .05 K(m)= 1.69 r= 709
M= 509952  S(m)= 4664  S1(m)= 4638 Sp(m)= 4922.95  E(m)= .06 K(m)= 2.02 r= 709
M= 509954  S(m)= 2315  S1(m)= 2302 Sp(m)= 2431.47  E(m)= .06 K(m)= 1    r= 709
M= 509956  S(m)= 2411  S1(m)= 2395 Sp(m)= 2557.92  E(m)= .07 K(m)= 1.05 r= 709
M= 509958  S(m)= 4697  S1(m)= 4674 Sp(m)= 4994.9 E(m)= .07 K(m)= 2.05 r= 709
M= 509960  S(m)= 3684  S1(m)= 3664 Sp(m)= 3878.75  E(m)= .06 K(m)= 1.6    r= 709
M= 509962  S(m)= 2360  S1(m)= 2343 Sp(m)= 2454.66  E(m)= .05 K(m)= 1.01 r= 709
M= 509964  S(m)= 6096  S1(m)= 6060 Sp(m)= 6379.83  E(m)= .05 K(m)= 2.62 r= 709
M= 509966  S(m)= 2536  S1(m)= 2522 Sp(m)= 2653.89  E(m)= .05 K(m)= 1.09 r= 709
M= 509968  S(m)= 2333  S1(m)= 2320 Sp(m)= 2431.53  E(m)= .05 K(m)= 1    r= 709
M= 509970  S(m)= 6263  S1(m)= 6223 Sp(m)= 6593.34  E(m)= .06 K(m)= 2.71 r= 709
M= 509972  S(m)= 2304  S1(m)= 2290 Sp(m)= 2431.55  E(m)= .06 K(m)= 1    r= 709
M= 509974  S(m)= 2359  S1(m)= 2342 Sp(m)= 2431.56  E(m)= .04 K(m)= 1    r= 709
M= 509976  S(m)= 4619  S1(m)= 4590 Sp(m)= 4863.14  E(m)= .06 K(m)= 2    r= 709
M= 509978  S(m)= 2799  S1(m)= 2785 Sp(m)= 2964.94  E(m)= .06 K(m)= 1.22 r= 709
M= 509980  S(m)= 3157  S1(m)= 3135 Sp(m)= 3326.81  E(m)= .06 K(m)= 1.37 r= 709
M= 509982  S(m)= 5118  S1(m)= 5088 Sp(m)= 5403.55  E(m)= .06 K(m)= 2.22 r= 709
M= 509984  S(m)= 2315  S1(m)= 2306 Sp(m)= 2431.61  E(m)= .05 K(m)= 1    r= 709
M= 509986  S(m)= 2305  S1(m)= 2292 Sp(m)= 2431.62  E(m)= .06 K(m)= 1    r= 709
M= 509988  S(m)= 4564  S1(m)= 4543 Sp(m)= 4863.26  E(m)= .07 K(m)= 2    r= 709
M= 509990  S(m)= 3281  S1(m)= 3261 Sp(m)= 3536.92  E(m)= .08 K(m)= 1.45 r= 709
M= 509992  S(m)= 2749  S1(m)= 2728 Sp(m)= 2917.97  E(m)= .07 K(m)= 1.2    r= 709
M= 509994  S(m)= 4770  S1(m)= 4744 Sp(m)= 5043.43  E(m)= .06 K(m)= 2.07 r= 709
M= 509996  S(m)= 2358  S1(m)= 2344 Sp(m)= 2474.32  E(m)= .06 K(m)= 1.02 r= 709
M= 509998  S(m)= 2439  S1(m)= 2427 Sp(m)= 2574.71  E(m)= .06 K(m)= 1.06 r= 709
M= 510000  S(m)= 6598  S1(m)= 6562 Sp(m)= 6916.79  E(m)= .05 K(m)= 2.84 r= 709

愚工688 · 发表于 2014-3-2 20:38

[这个贴子最后由愚工688在 2014/03/02 08:46pm 第 2 次编辑]

换个程序再计算另一半。顺便作个统计计算。
M= 510002    S(m)= 2402  S1(m)= 2388 sp(m)= 2547.49  E(m)= .067 K= 1.05 r= 709
M= 510004    S(m)= 2628  S1(m)= 2613 sp(m)= 2759.5 E(m)= .056 K= 1.13 r= 709
M= 510006    S(m)= 5571  S1(m)= 5535 sp(m)= 5836.11  E(m)= .054 K= 2.4 r= 709
M= 510008    S(m)= 2384  S1(m)= 2372 sp(m)= 2501.2 E(m)= .054 K= 1.03 r= 709
M= 510010    S(m)= 3092  S1(m)= 3073 sp(m)= 3242.31  E(m)= .055 K= 1.33 r= 709
M= 510012    S(m)= 4736  S1(m)= 4703 sp(m)= 5042.25  E(m)= .072 K= 2.07 r= 709
M= 510014    S(m)= 2316  S1(m)= 2305 sp(m)= 2431.75  E(m)= .055 K= 1    r= 709
M= 510016    S(m)= 2492  S1(m)= 2476 sp(m)= 2657.17  E(m)= .073 K= 1.09 r= 709
M= 510018    S(m)= 4692  S1(m)= 4667 sp(m)= 4902.66  E(m)= .05 K= 2.02 r= 709
M= 510020    S(m)= 3675  S1(m)= 3654 sp(m)= 3890.85  E(m)= .065 K= 1.6 r= 709
M= 510022    S(m)= 2354  S1(m)= 2339 sp(m)= 2440.83  E(m)= .044 K= 1    r= 709
M= 510024    S(m)= 4697  S1(m)= 4671 sp(m)= 4945.21  E(m)= .059 K= 2.03 r= 709
M= 510026    S(m)= 2614  S1(m)= 2598 sp(m)= 2741.97  E(m)= .055 K= 1.13 r= 709
M= 510028    S(m)= 2311  S1(m)= 2302 sp(m)= 2431.82  E(m)= .056 K= 1    r= 709
M= 510030    S(m)= 6142  S1(m)= 6109 sp(m)= 6484.87  E(m)= .062 K= 2.67 r= 709
M= 510032    S(m)= 2253  S1(m)= 2243 sp(m)= 2461.14  E(m)= .097 K= 1.01 r= 709
M= 510034    S(m)= 2971  S1(m)= 2949 sp(m)= 3112.76  E(m)= .056 K= 1.28 r= 709
M= 510036    S(m)= 4887  S1(m)= 4855 sp(m)= 5149.81  E(m)= .061 K= 2.12 r= 709
M= 510038    S(m)= 2302  S1(m)= 2291 sp(m)= 2431.86  E(m)= .061 K= 1    r= 709
M= 510040    S(m)= 3162  S1(m)= 3145 sp(m)= 3336.4 E(m)= .061 K= 1.37 r= 709
M= 510042    S(m)= 5084  S1(m)= 5057 sp(m)= 5316.52  E(m)= .051 K= 2.19 r= 709
M= 510044    S(m)= 2331  S1(m)= 2317 sp(m)= 2485.94  E(m)= .073 K= 1.02 r= 709
M= 510046    S(m)= 2274  S1(m)= 2259 sp(m)= 2431.9 E(m)= .077 K= 1    r= 709
M= 510048    S(m)= 6387  S1(m)= 6355 sp(m)= 6793.92  E(m)= .069 K= 2.79 r= 709
M= 510050    S(m)= 3106  S1(m)= 3093 sp(m)= 3275.32  E(m)= .059 K= 1.35 r= 709
M= 510052    S(m)= 2441  S1(m)= 2423 sp(m)= 2522    E(m)= .041 K= 1.04 r= 709
M= 510054    S(m)= 4583  S1(m)= 4558 sp(m)= 4863.88  E(m)= .067 K= 2    r= 709
M= 510056    S(m)= 2334  S1(m)= 2320 sp(m)= 2460.01  E(m)= .06 K= 1.01 r= 709
M= 510058    S(m)= 2315  S1(m)= 2303 sp(m)= 2445.55  E(m)= .062 K= 1.01 r= 709
M= 510060    S(m)= 6148  S1(m)= 6113 sp(m)= 6485.26  E(m)= .061 K= 2.67 r= 709
M= 510062    S(m)= 2765  S1(m)= 2750 sp(m)= 2918.37  E(m)= .061 K= 1.2 r= 709
M= 510064    S(m)= 2346  S1(m)= 2331 sp(m)= 2472.75  E(m)= .061 K= 1.02 r= 709
M= 510066    S(m)= 4722  S1(m)= 4694 sp(m)= 4990.22  E(m)= .063 K= 2.05 r= 709
M= 510068    S(m)= 2689  S1(m)= 2671 sp(m)= 2834.9 E(m)= .061 K= 1.17 r= 709
M= 510070    S(m)= 3372  S1(m)= 3352 sp(m)= 3602.99  E(m)= .075 K= 1.48 r= 709
M= 510072    S(m)= 4711  S1(m)= 4680 sp(m)= 4971.86  E(m)= .062 K= 2.04 r= 709
M= 510074    S(m)= 2565  S1(m)= 2552 sp(m)= 2670.07  E(m)= .046 K= 1.1 r= 709
M= 510076    S(m)= 2773  S1(m)= 2754 sp(m)= 2918.46  E(m)= .06 K= 1.2 r= 709
M= 510078    S(m)= 4654  S1(m)= 4623 sp(m)= 4905.48  E(m)= .061 K= 2.02 r= 709
M= 510080    S(m)= 3103  S1(m)= 3087 sp(m)= 3242.75  E(m)= .05 K= 1.33 r= 709
M= 510082    S(m)= 2439  S1(m)= 2423 sp(m)= 2566.88  E(m)= .059 K= 1.06 r= 709
M= 510084    S(m)= 4617  S1(m)= 4590 sp(m)= 4864.17  E(m)= .06 K= 2    r= 709
M= 510086    S(m)= 2323  S1(m)= 2307 sp(m)= 2432.09  E(m)= .054 K= 1    r= 709
M= 510088    S(m)= 2295  S1(m)= 2284 sp(m)= 2432.1 E(m)= .065 K= 1    r= 709
M= 510090    S(m)= 7391  S1(m)= 7345 sp(m)= 7805.31  E(m)= .063 K= 3.21 r= 709
M= 510092    S(m)= 2530  S1(m)= 2516 sp(m)= 2702.36  E(m)= .074 K= 1.11 r= 709
M= 510094    S(m)= 2680  S1(m)= 2660 sp(m)= 2779.58  E(m)= .045 K= 1.14 r= 709
M= 510096    S(m)= 4599  S1(m)= 4572 sp(m)= 4864.29  E(m)= .064 K= 2    r= 709
M= 510098    S(m)= 2298  S1(m)= 2284 sp(m)= 2432.15  E(m)= .065 K= 1    r= 709
M= 510100    S(m)= 3087  S1(m)= 3068 sp(m)= 3242.88  E(m)= .057 K= 1.33 r= 709
M=[ 510002 , 510100 ] R= 709  n= 50 E1= .06 E2= .01 E(min)= 0    E(max)= .097

愚工688 · 发表于 2014-3-16 21:25

最近，获得网友Ktprime 先生的帮助，他无私的提供了自己的计算大偶数的素对的软件，使我有了处理几十亿大小偶数的能力，能够在此基础上对数据进行进一步的优化处理，提高了计算的精度。
1.对相对误差E(m)的估计
1亿-50亿的样本的统计计算数据：
99999950 - 100000046 : n= 49  E1= .119  E2= .001 E(min)= .117 E(max)= .122
999999902 - 1000000000 : n= 50  E1= .137  E2= 0  E(min)= .136  E(max)= .138
1999999902 - 2000000000 : n= 50  E1= .141  E2= 0  E(min)= .141  E(max)= .141
2999999952 - 3000000050 : n= 50  E1= .143  E2= 0  E(min)= .143  E(max)= .144
3999999950 - 4000000050 : n= 51  E1= .145  E2= 0  E(min)= .145  E(max)= .146
4999999950 - 5000000050 : n= 51  E1= .146  E2= 0  E(min)= .146  E(max)= .147
鉴于样本的统计数据，可以把相对误差的范围设定为E(m)=0.13±0.02，这样在计算下限值时可以更逼近实际素对的数目。
2. 合数因子系数 F(m)对应于r值，在其不变的偶数区间是个常量,摘录如下:
99460732 -- 100140050    r=  9973 F(m) =  97.6233
999002452 -- 1000267130 r=  31607 F(m) =  244.8822
1999073524 -- 2000683442  r=  44711 F(m) =  324.2585
2999424292 -- 3000081530  r=  54767 F(m) =  382.6784
3999424084 -- 4000183010  r=  63241 F(m) =  430.5287
4999762684 -- 5000894090  r=  70709 F(m) =  471.8756
3. 下限时偶数的素因子系数 K(m)为1；
上限则由K(m)的大值决定。例：
2×3×5×7×11×13×17×19×23＝223,092,870
它的K(m)=(2/1)(4/3)(6/5)(10/9)(12/11)(16/15)(18/17)(22/21)= 4.5894
而 2×3×5×7×11×13×17×19×23×29＝6,469,693,230  ，
因此在2.23亿与64.69亿之间偶数的最大K(m)= 4.5894 。它们是n×223,092,870 一系列数。（n=1-28）
4.对大偶数所分的素对的上下限的计算
求：偶数一亿，十亿，二十亿，三十亿，五十亿前后各100个偶数中的可分成的素对的上下限：
4.1 下限的计算：
1亿时的下限应该为:S(m) ≈ (√100000000/4)*1*97.6233/[1+0.15]= 212225；
10亿时的下限应该为：S(m) ≈ (√1000000000/4)*1*244.822/[1+0.15]= 2229121；
20亿时的下限应该为：S(m) ≈ (√2000000000/4)*1*324.2585/[1+0.15]= 3152452；
30亿时的下限应该为：S(m) ≈ (√3000000000/4)*1*382.6784/[1+0.15]= 4556556；
40亿时的下限应该为：S(m) ≈ (√4000000000/4)*1*430.5287/[1+0.15]= 5919354；
50亿时的下限应该为：S(m) ≈ (√5000000000/4)*1*471.8756/[1+0.15]= 7253618；
60亿时的下限应该为：S(m) ≈ (√6000000000/4)*1*508.4716/[1+0.15]= 8562183。
4.2 再计算上限:（由于K(m)= 4.5894 的偶数分布稀少，，故接近上限的数很少。）
1亿时的上限为：√100000000/4*4.3807*97.6233/（1+.11）=963195
10亿时的上限为：√1000000000/4*4.5894*244.8822/（1+.11）=10598986
20亿时的上限为：√2000000000/4*4.5894*324.2585/（1+.11）=14989229
30亿时的上限为：√3000000000/4*4.5894*382.6784/（1+.11）=21665440
40亿时的上限为：√4000000000/4*4.5894*430.5287/（1+.11）=28145246
50亿时的上限为：√5000000000/4*4.5894*471.8756/（1+.11）=34489386
60亿时的上限为：√6000000000/4*4.5894*508.4716/（1+.11）=40711328
这里对大偶数所分素对数量的上下限的计算中，相对误差的范围设定为E(m)=0.13±0.02，大幅度缩小。正确与否，以偶数的实际素对数据为唯一的准绳，是不难辨别的。作为抛砖引玉，有能力计算大偶数的素对的朋友们，有兴趣时可以验证一下，看看是否有触及上下限的偶数呢？我拭目以待。
验证：
60亿附近包含了K(m)= 4.5894 的偶数6023507490 的20个连续偶数：
G(6023507480) = 11489167
G(6023507482) = 8626306
G(6023507484) = 17235247
G(6023507486) = 8613409
G(6023507488) = 8784346
G(6023507490) = 39539449
G(6023507492) = 8630137
G(6023507494) = 8615316
G(6023507496) = 17355099
G(6023507498) = 8808295
G(6023507500) = 11816678
G(6023507502) = 17234023
G(6023507504) = 10336093
G(6023507506) = 8618942
G(6023507508) = 17230827
G(6023507510) = 11767763
G(6023507512) = 9575798
G(6023507514) = 18087557
G(6023507516) = 9400351
G(6023507518) = 10392450
6023507490 的素对数目为：39539449，在计算上限40711328之下；其它偶数的下限均在计算下限8562183之上.

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