道古桥与《数学九章》

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道古桥与《数学九章》
来源：南方周末
作者：蔡天新
"美国科学史家萨顿认为，秦九韶是“他那个民族，他那个时代最伟大的数学家之一”，
但他也是备受时代忽视的天才，其传世著作传抄了六百年才印刷出版。"

杭州市西湖区西溪路（浙江大学西溪校区与玉泉校区之间，靠近西溪校区）有一座石
桥，叫道古桥。始建于南宋嘉熙年间（1237-1241），初名西溪桥。南宋咸淳初年《临
安志》有载：“‘西溪桥’，本府试院东，宋代嘉熙年间道古建造”。这个造桥的道古不是
别人，正是南宋大数学家秦九韶，道古是他的字。

秦九韶（1202或1208-1261）祖籍山东，出生在四川，其父中过进士，1219年调任首都
临安（杭州），全家住在西溪河畔。原来，刚好在九韶出生前一年，临安发生了一场著
名的大火，烧了三天三夜，烧掉太庙、三省、六部、御史台等，受灾居民达三万五千多
家，部分朝廷命官及家眷便迁居当时属于郊外的西溪河畔，秦家来临安后也住那里。

九韶自幼聪颖好学，兴趣广泛，他的父亲一度出任秘书少监，掌管图书，其下属机构设
有太史局，这使他有机会博览群书，学习天文历法、土木工程和数学、诗词等。他在故
乡曾为义兵首，有着领兵打仗的才能。1231年考中进士，先后在湖北、安徽、江苏、广
东等地为官。1238年，九韶回临安丁父忧（为父奔丧），见河上无桥，两岸人民往来很
不便，便亲自设计，再通过朋友从府库得到银两资助，在西溪河上造了这座桥。

桥建好后，原本没有名字，因桥建在西溪河上，习惯上被叫作“西溪桥”。直到元代初年，
另一位大数学家、游历四方的北方人朱世杰（1249-1314）来到杭州，才倡议将“西溪桥”
更名“道古桥”，以纪念造桥人、他所敬仰的前辈数学家秦九韶，并亲自将桥名书镌桥头。

道古桥一直存在到新千年之交（笔者在附近居住了19年，历史上有无重建不得而知），
因为西溪路扩建改造，原先的桥和溪流才被夷（填）为平地（曾经有过的道古桥居委会
也随之消失），并建起高楼大厦，诸如国际商务中心、浙江省国土资源厅和黄龙世纪雅
苑，只留一个公交车站名道古桥（据说还有地图上未显示的道古桥路）。

2005年，道古桥附近天目山路南侧西溪支流沿山河上修建了一座人行石桥（在杭大路的
马登桥和黄龙路的沿山河桥之间，离开道古桥原址约100米，比原先的长且宽阔）。 笔
者近日实地勘察，此桥跨河而建，两岸垂柳披挂，风景优美，且闹中取静，但至今尚未
命名。故突发联想，建议将其复名为道古桥。

数学大略

1244年，秦九韶任建康府（南京）通判期间，因母丧离任，回浙江湖州守孝三年。正是
在湖州守孝期间，秦九韶专心研究数学，完成了二十多万字的巨著《数学九章》（1247），
名声大振。加上他在天文历法方面的丰富知识和成就，曾受皇帝（宋理宗赵昀）召见。
他在皇帝面前阐述自己的见解，并呈奏稿和“数学大略”（即《数学九章》）。可以说，秦
九韶是第一个受皇帝接见的中国数学家。几年以后，河北的李冶也曾三度被忽必烈召见。

《数学九章》分九卷（类），每类九个问题，其中最重要的成果无疑要数第一卷大衍类的
“大衍总数术”和第九卷“市易类”的“正负开方术”。“开方正负术”或“秦九韶算法”给出了一
般n次代数方程正根的解法，系数可正可负。此类方程求解原本需经n(n+1)/2次乘法和n次加
法，秦九韶将其转化为n个一次式的求解，只需n次乘法和n次加法，他并给出了最高10次21
个方程的例子。即便在计算机时代的今天，秦九韶算法仍有重要的意义。

“大衍总数术”给出了孙子定理的一般表述。大约在公元四五世纪成书的《孙子算经》里有所
谓的“物不知数”问题。即“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，
问物几何”，“答曰二十三”。换句话说，孙子只是给出了一个特殊例子。而在江苏淮安的民间
传说里，这个故事可溯源到公元前二三世纪西汉名将韩信点兵的故事。

话说秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信率兵与楚军交战。苦战一场，汉军死伤数百，遂整顿
兵马返回大本营。当行至一处山坡，忽报楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。此
时汉军已十分疲惫，韩信令士兵3人一排，结果多出2名；接着令5人一排，结果多出3名；再
令士兵7人一排，又多出2名。韩信当即宣布：我军1073名勇士，敌人不足五百。果然士气大
振，一举击败了楚军。

用现代数学语言来表述“大衍总数术”就是：设有k个两两互素的大于1的正整数m，其乘积为M，
则对任意k个整数a，存在唯一不超过M的正整数x，x被各个m相除所得余数依次为a。秦九韶并
给出了求解的过程，为此他发明了“辗转相除法”（欧几里得算法）和“求一术”。后者是指，设
a和m是互素的正整数，m大于1，可以求得唯一的正整数x，使得a和x的乘积被m除后余数为1。

遗憾的是，由于古代中国没有素数的概念，且当时的用途并非在理论上，而主要用于解决历法、
工程、赋役和军旅等实际问题，秦九韶对他发现的定理没有给出严格的证明。但对求解型的定
理来说，这个并不十分重要。实际上，他还允许模非两两互素，并给出了可靠的计算程序将其
化为两两互素的情形。此外，秦九韶还给出了海伦公式（已知三角形的三条边长求面积）的等
价形式。

享誉国外

1801年，数学王子高斯的名著《算术研究》（第2篇第7节）里，也给出了上述结果，但他不知
道中国的数学家早已经有这个结论。直到1852年，秦九韶的结果和方法被英国传教士伟烈亚力
（与清代数学家李善兰合作译完欧几里得《几何原本》）译介到欧洲，并被迅速从英文转译成
德文和法文，引起了广泛的关注。至于何时何人命名了中国剩余定理，仍是个未解之谜，但应
不晚于1929年。

严格来讲，孙子定理应称为孙子-秦九韶定理，或秦九韶定理。据先师潘承洞教授分析，西方人
之所以称其为中国剩余定理，是因为古代中国数学家注重计算，缺乏理论建树，因而是一种轻
视。无论如何，它都可以说是中国人发现的最具世界性影响的定理，是中外任何一本基础数论
教科书不可或缺的，同时也被拓广到另一数学分支——抽象代数里面。此外，还被应用到密码
学、哥德尔不完全性定理的证明，以及快速傅里叶变换理论等诸多方面。

集合论的创始人、德国大数学家康托尔赞扬秦九韶是“最幸运的天才”，此前法国大数学家拉格
朗日也是这样称赞牛顿的。拉格朗日认为，发现万有引力定律只有一次机会。有着“科学史之父”
美誉的美国科学史家萨顿则认为，秦九韶是“他那个民族，他那个时代最伟大的数学家之一”。
2005年，牛津大学出版社出版了《数学史，从美索不达米亚到现代》，该书内容提要仅提及12
位数学家，秦九韶是唯一的中国人。

秦九韶造桥的故事，堪与英国数学家牛顿造桥的故事媲美。现今剑桥大学的皇后学院内，流经
的剑河上有一座桥叫数学桥，只因传说原桥设计师是17世纪的数学家牛顿。据称牛顿造桥时没
用到一根钉子，后来有好事者悄悄把桥拆下来，发现真是这样，却再也无法安装回去，只好在
原址重新造了一座桥，至今仍是一处名胜，可以说是到访剑桥旅客的必游之地。

相比之下，道古桥的故事不仅更为古老（比牛顿早四个世纪），且与两位古代大数学家有关
（可惜当年宣传甚少，甚至杭州多数数学工作者都不知道，道古即秦九韶）。如果得以（重新）
命名，酌情在桥头设立一块石碑（此建议不久被杭州市政府采纳，并请数学家王元先生题写了
桥名），必将为杭州这座历史文化名城增添一处不可多得的人文景观，会吸引更多的青少年热
爱数学和科学。

道德污点

必须指出的是，由于秦九韶的学术成就未被同代人认识，加上一些不好的传闻和描述，称其贪
赃枉法、生活无度，甚至犯有人命、非复人类，他在晚年后世成了一个有争议的人物。所有宋
史和地方志都未为秦九韶列传，他的名字和桥名时隐时现，后裔也下落不明。不仅中文数论教
科书里不出现他的名字，中国校园里也只张贴或雕塑祖冲之的像，甚至英国BBC制作的秦九韶
专题片也渲染他的道德污点。

经笔者多方求证和讨教，得知有关秦九韶的传闻主要有两个出处，其内容大有互通。福建词人
刘克庄《后村先生大全集》中的《缴秦九韶知临江军奏状》（1260）在前，湖州文人周密《癸
辛杂识·续集》中的《秦九韶》（共两页，癸辛是杭州的街名）在后，后者曾被《四库全书》列
入“小说家之类”流传。

到了清代，学者院元、焦循、陆心源等人相继批驳周密，指其造谣诽谤，始有人为秦九韶列传。
而刘克庄生前，即被认为谀词谄语，连章累牍，为人所讥。1842年，《数学九章》由历算名家
宋景昌校订后第一次印刷出版，结束了600年的传抄史。之前，其抄本先后被收入《永乐大典》
和《四库全书》。也是在传抄过程中，被明末戏剧家王应遴定名为《数学九章》。从这个意义
上，《数学九章》堪与荷马史诗媲美。

需要指出的，贾似道和吴潜是南宋两位结怨的宰相，刘克庄和秦九韶分别与两人过从甚密（吴
是湖州人）。或许，秦九韶从吴潜赠送的地基上建起的房子有些奢华，引得落魄文人周密的嫉
妒。特别是，周密是湖州本地人而秦九韶是异乡人。这让我想起造纸术的发明人蔡伦，他和秦
九韶在科学、技术上的成就在中国古代无人可以匹敌。蔡伦因为发明造纸术被封侯，晚年却在
宠爱他的皇太后过世后被政敌毒死。还有法国数学家拉普拉斯，因政治上得宠，也被讽为阿谀
奉承的势利小人。

值得一提的是，《数学九章》里有一幅著名的插图，是用来计算图中的宝塔塔尖高度的，通过
观察角度的调整和正切函数的运用，便可以求得。这座宝塔与湖州城内的唐代古寺飞英寺里的
飞英塔造型相似，此塔内是石塔外是砖木塔，因为塔中有塔而别具一格，属于全国重点文物保
护单位。虽然内塔和外塔分别建于唐代和北宋年间，但在12世纪前后遭到破坏，现在的塔重建
于13世纪30年代，刚好在秦九韶寓居湖州之前。

最后，我想谈谈秦九韶为《数学九章》所作的自序（他还为每卷各写了一首序诗）。他在开头
提到，周朝数学便属“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）之一。学者和官员们，历来重视、崇
尚数学。人们因为要认识世界的规律，产生了数学。从大的方面说，数学可以认识自然，理解
人生；从小的方面说，数学可以经营事务，分类万物。秦九韶坚信，世间万物都与数学相关。

这也是数学吸引秦九韶的地方，他向学者、能人求教，深入探索数学之精微。“我在青少年时代
曾随父亲到过都城临安，有机会访问国家天文台的历算家，向他们学习历算。此外，我还从隐
居的学者那里学习数学。”其时，元人军队入侵四川，九韶有时却不得不在战乱中长途跋涉，可
是他仍不忘钻研数学。

与此同时，秦九韶也感叹，数学家的地位和作用，而今不被人们所认识，甚至当权人士对此状况
也听之任之，这里他主要指的是纯粹数学和暂时无法用到的方法技巧。他认为，数学这门学问遭
到鄙视，算学家只被当做工具使用，这就犹如制造乐器的人，仅仅只能拨弄出乐器的声音。“原
本我想要把数学提升到哲理（道）的高度，只是实在太难做到了。”由此我们可以推断，这是一
位有思想、有品位的人，与传言中的秦九韶似乎难以相符。