一个 IMO 特别奖获得者的解法

luyuanhong

一个 IMO 特别奖获得者的解法

作者：不可靠的数学疯子 来源：套路化思考 2024-02-15 03:11 浙江

波斯猫猫

设a，b，c是三角形的边长。证明a^2.b(a-b)+b^2.c(b-c)+c^2.a(c-a)≥0，并说明等号何时成立(美国)。

证(直接法)：根据三角形两边的差小于第三边，可设a-b+r=c，b-c+e=a，c-a+t=b，

则a=(e+t)/2，b=(t+r)/2，c=(r+e)/2  （e，t，r∈N+）。

故a^2.b(a-b)+b^2.c(b-c)+c^2.a=[(e+t)^2(t+r)(e-r)+(t+r)^2(r+e)(t-e)+(r+e)^2(e+t)(r-t)]/16

=[et(t-r)^2+tr(r-e)^2+re(e-t)^2]/8≥0。

注：本证法直接且较为朴素，用到三角形两边的差小于第三边的性质，必将换元。繁在计算，巧在三
处的局部配方。可以看出，除上述几种方法外，再应用其它方法（如放缩法）恐怕难以奏效。

波斯猫猫

0≤[et(t-r)^2+tr(r-e)^2+re(e-t)^2]

=(a+c-b)(a+b-c)(2a-2c)^2+(a+b-c)(b+c-a)(2a-2b)^2+(b+c-a)(a+c-b)(2c-2b)^2

=4[(a+c-b)(a+b-c)(a-c)^2+(a+b-c)(b+c-a)(a-b)^2+(b+c-a)(a+c-b)(c-b)^2]

=8[a^2.b(a-b)+b^2.c(b-c)+c^2.a(c-a)]

注：还原后的长相是(a+c-b)(a+b-c)(a-c)^2+(a+b-c)(b+c-a)(a-b)^2+(b+c-a)(a+c-b)(c-b)^2。
这可能就是原题的设计背景，但计算仍十分繁杂，共涉及36项。