质数中为什么不包含 1 ？

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质数中为什么不包含 1 ？

原创 趣思考 趣思考 2024-01-31 16:48 江苏

数学为什么总是令人倍感困惑呢？因为数学创造的过程在教育中被剥夺掉了，只留下了创造的结果。烧掉数学书，重新发明数学这个系列我已经做了 20 期左右，这个系列的目的就是把在教育过程中被剥夺掉的数学创造过程展现给大家。

众所周知，质数中不包含 1 ，可是为什么不包含呢？很多人会说定义就是这么规定的啊。可是，我们还是想追问为什么这么规定呢？

事实上，历史上关于 1 是否应当被视作质数有过很长一段时间的探讨和争议，是以，学生在遇到这个质数中不包含 1 产生困惑的确当属一件非常正常的事情。我们今天就来探讨一下这个问题。

首先，如果质数中包含1，那么某个数被分解质因数时，就会出现不唯一的表示形式，可以出现无数种表示形式。比如：

    6=1×2×3

    6=1×1×2×3

    6=1×1×1×2×3

只要你愿意，你可以永无止境地写下去，质因数分解就会变得不唯一。为了避免这种情况的发生，我们把 1 从质数中剔除。

爱思考的小孩子，这会肯定又会冒出一个问题出来，为什么我们要拘泥于一种表示形式的因式分解呢？

数学首要目标追求简洁，其实，不仅是数学，现实生活中诸多事物我们的目标也是追求简洁，如无必要，我们没有必要因为把1作为质数，从而带来复杂性，使得质因数分解不具备唯一性。分解质因数的方法只有一种，意味着某个数与其分解为质数的方法之间满足“单射”关系。质数中不包含 1 ，因此将 6 分解质因数之后只能得到“2×3”这一种结果，而质因数分解为“2×3”的数也只有 6 。什么是“单射”关系？顾名思义就是一一对应的关系。

本着打破砂锅问到底的精神，为什么我们希望其具有单射的关系？

这种关系在逻辑推理中是非常重要的。现实生活中的单射的案例也非常多，比如，一个人的身份证号和一个人的关系就属于单射关系。这种单射关系带来的好处显而易见，不至于会把事情弄得混乱不堪。设想一下，假如你和一个通缉犯共用一个身份证号，公安机关根据这个人找到了他的身份证号，但是，由于在系统中，通缉犯和你使用的是同一个身份证号，公安机关在生成通缉令时虽然输入的是通缉犯的身份证号，但是，最终不小心调出了你的身份信息，于是乎，通缉令上变成了你的身份信息，从此，你变成了全网通缉犯。事实上，如果同一个身份证号对应多个人在软件系统中存储将会是一件非常麻烦的事。还有一个日常生活中常见的单射关系，汽车与车牌的关系，如果不满足单射关系就会带来麻烦，比如，有些犯罪分子干的“套牌”事情。

作为程序员可能非常清楚这种本该具有单射关系，实际误处理成一对多甚至多对多关系会带来多大的麻烦，会导致严重的 bug ，甚至在出了 bug 之后压根无法处理，会导致数据被污染，甚至无法清洗错误数据。

所以，如无必要，最好是要满足单射关系，这也就是为什么我们需要满足因式分解唯一的原因，即我们最终把 1 踢出质数的原因。