数学证明：证不出就推翻？

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数学证明：证不出就推翻？

原创 小数点茶馆 小数点同学会 2024-01-18 17:34 北京

今天星期四，小数点茶馆开讲。

今天我们要讲的，是一个“得不到就毁掉”，啊不，是“证不出就推翻”的故事。还记得我们周二给大家解释的吗，在数学里，一切结论都要得到证明才可以变成定理，还没有得到证明的结论只能叫做猜想。今天的故事，就和定理证明有关。

传奇人物克里斯托弗·塞曼

今天我们的主人公是 20 世纪英国数学家克里斯托弗·塞曼（Christopher Zeeman）。老爷子也是个传奇人物，二战期间参军，部队生活中他突然感受到了自己对数学的热爱，决定退伍后回去学数学。可他回来念大学的时候发现自己之前学的数学已经忘得差不多了，只好慢慢重新捡起。但这并不妨碍他以优异的成绩从剑桥毕业并留校任教，逐渐在数学界获得声望。

1963 年，塞曼应邀为一所新建的大学“华威大学”（University of Warwick）成立数学学院。他写信给六位数学家邀请他们一起加入，却被一一拒绝。于是他回复每一个人：“可是其他五个人都同意了呀！”结果这些数学家个个都改变了主意。就这样，在塞曼的带领下，华威大学成立了数学学院，整个学院学风活泼，鼓励交流，建成之初就成为顶尖的数学研究院。直至今日，英国华威大学的数学学院仍然是华威大学最具竞争力的院系之一，其实力在欧洲乃至世界都名列前茅。

七年 vs. 几个小时

塞曼的数学生涯中，在拓扑学上做出了很多贡献，尤其对纽结理论（knot theory）特别感兴趣。

扭结理论大概是干什么的呢，简单理解就是关于“绳子打结”的问题。怎样就算一个结，怎样就不算打结了，怎样两个结实质就是一样的，怎样就不一样了……当然了，实际上研究的问题比这些复杂得多。


不同的扭结

三维空间里，肯定会有很多打结的、解不开的绳圈。但是到了四维空间，绳圈就没法打结了——四维空间中的任何一个绳圈都能变形成一个 O 形的简单绳圈。不过，正如三维空间中的线条能拧成结，四维空间中的平面也能拧成结。那问题来了：球面在五维空间中是不是也能打结呢？

塞曼想到这个问题之后一下来了兴致，开始着手研究。按照他的猜想，球面在五维空间里也是可以打结的。别忘了我们说过，想要证明一个结论，需要每一步都有确切严格的证明才可以推进下去。因此这个证明进展缓慢，塞曼埋头研究了七年，还是没有头绪。

一个星期六的早上，他突发奇想：要不……试着推翻一下自己的猜测？他转而开始证明五维空间中的球面根本无法打结。结果就在当天上午，仅仅几个小时后，他就成功地推翻了自己七年以来一直在研究的假设。

失败的喜悦？

自己研究了七年的东西，一朝被自己推翻。这事得多有挫败感啊！

错！在数学里可不是。塞曼花了一个周末完成了初稿，后来又成功把初稿的 20 页证明简化到短短 10 行，用漂亮的证明推翻了自己的假设。这恰恰是他最引以为豪的成果之一。以至于后来他在牛津大学担任赫特福德学院院长的时候，学校按照传统请画家给他画肖像，他就决定在画的背景上写上这段优美的证明过程。画家一看这天书一样的数学符号，表示自己抄不下来，干脆把笔交给塞曼自己写。于是塞曼院长的肖像，背景是他自己亲笔写的数学公式。


克里斯托弗· 塞曼画像

证明或推翻

在我们的考试中，证明题通常是这样的形式：“证明：XXXXXX 。”但在很多数学竞赛中，证明题通常是以“证明或推翻”开头的。比如这道数学竞赛题：

证明或推翻，x^3 + y^4 = z^5 没有正整数解。

这模拟的就是现实中的数学研究过程。只不过，数学竞赛题目的出题人肯定是知道答案的。但真正的数学研究，数学家在证得任何结论前，实际上压根不知道自己在证明的东西成立不成立。所以不管你是证明了还是推翻了这个结论，都可以说“成功地证明了”。

能够通过观察，提出合理的猜想，并尝试验证自己的猜测，也是一个重要的数学素养。下周，我们会带着大家亲自体验这个过程。

朱明君

\(\left( 2^8\right)^3+\left( 2^6\right)^4=\left( 2^5\right)^5\)