几何学的未来发展

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几何学的未来发展

作者：丘成桐 来源：学知园学习中心 2023-12-19 20:16 山东

写在前面：本文是丘成桐教授 1996 年在台湾交通大学的演讲词，由林松山整理。

校长、院长及各位同学，今天很荣幸能够在这里演讲，尤其今年是交通大学一百年校庆纪念，能到一个比较注重工程的学校来讲数学，表示交通大学也注重理科方面的工作，这是很有意义的。因为基础科学对于工程学有很重要的启发性。今天我讲的题目是林松山教授给我的。但是学术的未来很难猜测，很多有学问的人都曾经得出错误的结论。所以我不作任何猜测，我只能够根据以前的历史来做一些建议。

今天要讲的历史主要是从个人的体验来看。我不是一个历史学家，我讲的很可能是错误的。可是这不重要，因为我想讲的是我从做学问得出来的观念，希望能够以我自己的经验来做一些建议。清华大学和交通大学都曾赠予杨振宁先生荣誉博士，我看过杨先生写的一篇文章，杨先生讲做物理好像画图画一样，我想做几何也跟画图画差不多，不过我们画的图画更广泛一点。物理学家要画的基本上只有一张图画，就是自然界的现象。但是几何学家可以随意去画，我们可以画广告画，画工程学需要的画，也可以画印象派的画和写实的画。广告 画可以在商业上有很大的用处，过几年后可能成为收藏的对象。但是由于商业气氛浓厚，一般画家不大愿意认同它们的价值。广告画或工程画却可能对写实派的画和印象派的画产生相当的影响。不过画印象派的画或山水画，一定要有很深的技术、功力和想法才能画得好。出名的画家往往花很多时间在磨练、猜测，将他的工具不停地推进，在好的气质修养下，才能够画出好的印象派的画或山水画。一般数学家和几何学家也有同样的经验，有意义的工作即使是个很小的观察（observation）,往往花了数学家很大的精力去找寻。找寻的方法 不单是从大自然吸取，也从美学和工程学来吸取。怎样去寻找有意义的工作，跟我们气质的培养有密切的关系。

现在我想谈几何的历史，看看从前，再预测未来。因为我没有想到林松山教授给我这么长的时间，所以会讲长一点。从前我们念中学的时候，念国文、念文学批评，总会说一个时代有一个时代的感慨。文学上有古文学、有诗经、有汉赋、有唐诗、有宋词，从一个时代去学习一个时代，很少能够学得刚好一样。我们现在看诗经写得好得不得了，可是我们学不到诗经里面的情怀意念。时代不同，感慨也不同了。随着时代的变迁，因为时代不同的需要，我们培养出不同的感情，取舍自然不一样。数学基本上也是一样，我们可以很羡慕从前 大数学家做的工作，可是我们不可能也不一定要跟他们一模一样。就好像我们现在学苏东坡的诗和词，我们不可能也不需要学得一样，但是我们可以从他的诗词里得到想法，帮助我们去理解大自然，找寻表达自己感情的方法。从几何来说，我们所要寻找的跟物理学一样，就是真和美这两个观念。还有一个很重要而容易忽略的动力，是由工程学对数学需求所产生的。这三个想法推动了几何学的发展。

美的观点在不停地改变，改变的方式跟我们当时认识的自然界有很大的关系。一、二千年前我们认识的自然界跟现在我们理解的自然界完全不同，所以数学或者几何学不停地受到这个变动的影响。在几何学来说，美可分为两方面：静态的美和动态的美。静态的美，譬如一朵花或雅致的山水，我们大致知道怎样准确地去描述它们，甚至将我们的感受表达出来。如何描述动态的美对我们来说是一个很困难的问题，例如水在流或天在下雪，在不同的时间、空间，事物会产生剧变，这是一个相当美的图画。可是到目前为止，剧变的研究对理论物理学家、数学家跟几何学家都是一个很大的挑战。为了对时空作深入的描述，几何学家有不同的研究的路径：有人从物理学的角度去了解，有人从微分方程的角度去了解，这都成为几何学的重要课题。

从古至今大家都讲美，但是没有很客观的标准来决定什么叫美或者不美， 最重要的观念只有一个，就是简洁。这往往是我们审美的一个主要标准。在做几何、做数学、做物理的研究时，我们都在描述一个很复杂的几何现象。假如我们没有办法将几何现象用很简洁的语言表达出来的话，我们不算有一个好的定理或者好的文章。用很简洁的语言来推导和描述繁杂的几何现象，在欧几里得的时代就归纳为用三段论证方法得出的过程。当时有很多定理，从希腊或埃及早期就发现了很多不同的平面几何现象，但是没有办法有系统地放在一起。欧氏很重要的贡献，就是能够将定理统一起来，用公理来解释所有当时发现的定理。例如两点之间可以用惟一的直线连接起来这个事实，可以推导出很多定理。追求用简洁的语言来解释复杂的几何现象，是几何学家的目标，物理学也是一样，物理上很复杂的现象也希望用统一场论来描述。从前中国也发展了平面几何，可是始终没有办法发展成完美的严格数学理论。这是中国数学不如西方数学的一个原因。公理化以后我们才能够统一处理和了解繁复的现象，也因此知道欧氏几何所能解释的只是很简单的理想化的几何现象。

我们在自然界里面发现的现象远比平面几何要复杂得多，阿基米德和牛顿开始用微积分的方法来描述变动的曲线和曲面。引进了微积分以后，几何学有长足的进步，我们开始知道直线或是圆以外的图形都可以用严格的数学来描述。牛顿从物理的观点来看质点怎么变动成一条曲线，从而发展了微积分。几何学家 发现描述几何图形非靠微积分不可，几何学从希腊的公理化到牛顿的微积分是 一个很大的进步。

古典力学无论在阿基米德，牛顿或是现代，对几何学的影响力都是很深远 的。它引进了变分法的观念，例如我们研究一个简单的问题：两点之间最短的 线是直线。这是平面几何要求的。可是假如中间有障碍，就不再是一条直线，并且最短的路径并不唯一。这是简单的变分问题，问两点间最短的线是什么？怎么找这些曲线及它的分布情形，到现在为止还是微分几何的一个有趣问题。我们知道在圆球上所有的测地线（geodesic）都是大圆。假设我们将圆球变形一下，变成凸曲面（convex surface）,这问题就变成一个很复杂的数学问题。它的测地线分布状态并不明显，到目前为止没有办法处理这个问题，只有在简单的椭圆体时可以全部解决这个问题。古典力学帮忙我们发现很多不同的工具来解释测地线的问题。

到了 20 世纪，我们又发觉古典力学和量子力学有密切的关系。一个重要的问题问，当普朗克常数趋向于零的时候，古典力学和量子力学中间的关系如何描述，在这方面有很多重要的工作，例如：WKB 的近似方法。它在几何上产 生了有趣的影响。例如 Hamiltonian Mechanics 里面的 classical path 和光谱的关系，引起了微分几何学家和微分方程学家企图联系 Laplace 算子的谱和测地线长度的工作。古典力学通过 geodesic ，量子力学通过 Laplace 算子得到很多几何现象，如何将它们联系是一个很有趣的几何问题。我想这方面的研究会有很大的发展。从古典力学到量子力学，更进一步，就是量子场论，这里有无穷多个质点，相空间变成无穷维空间。由于在古典的量子力学里，有限维流形上的谱分析和 classical path 有关，在无限维空间时，我们就期望某种极小曲面和量子场论出现的 partition function 有关系。在这方面，弦理论已经得到相当大的进步，可是物理学家讨论场论的时候，遇到很多困难，起源于无穷维流形算子的谱分析不知如何处理。一个重要例子是 loop space ，这是将给定的流形上的所有封闭曲线放在一起的空间，我们要寻求在它上面的谱分析，这是一个很困难的问题。量子场论还缺乏严格的数学基础。用 Renormalization 的方法，出现很多无穷的 cancellation 问题。在物理上出现的问题在数学上会更为困难。因为物理学家愿意接受直观的证明的观念，而数学家难以接受。可是从量子力学、量子场论推导出来的数学，几何学家往往惊叹他们如魔术般的奇妙直觉（intuition）。 在有限维空间时，由物理学引起的几何，我们大致上都可以理解和证明。可是在无穷维空间里面，我们发觉古典几何学的直觉与真理有相当远的距离，没有办法将有限维空间的想法简单地推导到无穷维空间几何上去。这十五年来，自从弦理论产生以后，我们惊讶地发觉从物理直觉产生的几何结论往往是正确的。

虽然量子场论本身的基础不够精确，它的物理意义也不见得能够说服所有的物理学家，可是得出来的几何结论即使不能以物理学的思维来严格证明，却意义深厚且往往可以用不同的数学方法来验证。现在举一个例子，这是一个很深奥而古典的问题，已经有一百多年的历史：一个五次方程，它有五个变量，这是中学生都看得懂的方程。我们要解这个方程，我们问一个很简单的问题，假如要求寻找这个方程的函数解，它是可以写成一个参数的有理函数，问这个方程有多少个这样的函数解。这是一个很古典的问题，跟 Fermat 问题很相似。我们的解可以分为不同的类别，我们可以用的阶数来将解分类，一般来说解有无穷个。可是我们可以问阶数等于 1 的时候有多少个解，等于 2 时有多少个 解。古典的几何学家算出来阶数等于 1 的时候有 2875 个，等于 2 的时候也可以算出来，等于 3 是近几年才找出来的，我们猜想它有无穷多个解，阶数越大时解可能越多。数学家没有办法解答这个问题，连猜测都没有办法做。这个问题在十年前，用弦理论的镜对称猜测到一个公式，来表达所有解的个数。这个镜对称理论是十年前我的一个博士后研究员和在得克萨斯州的一个教授跟他们的同事们建立的，镜对称没有办法严格地去证明这个公式，当时用古典方法一个一个地去检查，发觉阶数小时公式基本上是对的。可是这种检验不是公式的证明，从量子场论得来的结果一般来说不能当作定理。今年年初这个公式终于由刘克峰、连帮豪和我、以及俄国数学家 Givental 用数学的方法给出严格的证明。虽然最后的证明跟路径积分的想法无关，但是得到这个公式的过程有很大 的意义，因为在量子场论找到这个公式以前，数学家连怎样找这个公式都不知道。等到这个公式找出来以后，我们才有办法从公式本身去着想，得到它的证 明。我为什么要讲这个问题呢？因为无穷维空间在物理上有许多直观的想法， 从数学的观点来看，几乎是不可能接受的。这种公式往往是从路径积分加上正规化的观念导出来的，在严格上和直观上数学家都不能够接受，但却得出正确的答案。因此，我们要追究物理学家在量子场论的直观是怎样训练出来的，我们几何学家缺乏这方面的训练。近十年来，从量子场论得出来的重要观念，解决了很多我们以前没有办法解决的问题，可以看出古典力学、量子力学、量子 场论对几何的影响是很深远的。我想这个发展会继续下去，21世纪的上半叶，无穷维空间的几何要不断地受到量子场论的影响。如果单从数学出发，我们很容易地定义什么叫做无穷维空间上的几何，可是往往没有办法得出任何有意义的结论。这是因为几何学家对现代物理的观念搞得不清楚，而无穷维的几何往往不是古典的直观可以得到的，所以我们要接受从现代物理或其它自然界供给的观念。这是一个很重要的交汇，数学家自以为很漂亮的工具，往往不能够解决任何问题。假如物理上的直观可以代表真的话，这种直观会成为几何学的骨干。

我刚才强调从物理得来的几何观念，可是我们也应当知道几何或数学本身 有它生存和美的意义，也有生存和美的价值。我们可以不受到客观世界的影响， 推导很多很漂亮的理论。只要这个理论漂亮而同时能够解释很多几何上的现象的话，它一定有存在的意义，这是我们做数学的人相信的。举个例子来说，从牛顿以来，古典力学对微分几何确有深远的影响。到了 19 世纪，Gauss 却有一个 很重要的发现，把牛顿以后的微分几何带进一个新的纪元。这个定理引进所谓 内在曲率的观念，曲率的观念在Gauss以前就有了。自微积分被创立以后，我们就知道怎么处理二维的曲面，Euler 等很多重要的数学家在这方面有很大的贡 状。曲率测量二维曲面在三维空间里面的扭曲性，一般来说有两个不同的方向，一个得出,另一方向得出，它们的乘积定义为二维空间的 Gauss 曲率，Gauss 重要的贡献是发现Gauss曲率只与曲面的本质计量（intrinsic metric） 有关。二维曲面变形时，只要本质计量不变，它的曲率就不变。例如圆形柱中间切一条线以后，张开来变成一个长方形。这个过程并没有改变度量，所以圆柱的曲率为零。Gauss 自己也认为这是一个很重要的发现。发现的过程跟物理或其它的科学没有直接的关系，大概跟测量地形有间接关系。是 Gauss 经过很复杂的微积分计算，发现出来的公式，他发现曲率只跟本质计量有关 Gauss 的公式并不容易看得懂。事实上，用不适当的坐标表达的时候，微分几何的公式可以变成很复杂，但这也是微分几何漂亮的地方，往往在选取好的坐标时可 以得到很简单的公式。目前在课堂上就可以很容易将Guss的公式写下来。这是因为我们已经将 Gauss 的想法全部吸收而融会贯通的缘故。有了 Gauss 定理以后才有 Riemann 几何的发展。Riemann 根据Gauss的发现，发觉我们可以 推导一个全部本质的几何学（intrinsic geometry）。我们只要知道两点之间的距 离怎么度量，就可以引进曲率的观念，距离可以决定曲率，这是 Riemann 几何一个重大的突破，Riemann 几何要求欧氏几何在一个无穷小的领域上成立，然后推导了曲率及一系列微分几何上主要的观念。

当时 Riemann 创造这个理论，基本上是好奇。因为他希望能够重新解释 Gauss 定理，同时又将 Gauss 公式推导到高维空间去，并解释了几个重要的观念，例如欧氏几何里所谓平行公理的问题。一直到 19 世纪后期，微分度量几何的发展与理论物理关系并不大。当年引进了很多不同的观念都是基于微分几何学家的好奇心。他们发现很多欧氏空间上能够做的事情，都有办法在 Riemann 流形上面做，微分和积分的观念全部可以推导到流形上去，到了 19 世纪末叶他们已经将微分几何推广到抽象而完美的状态，当时的推导是基于公式的简洁和优美。19l5 年，Einstein 引进广义相对论，使 Riemann 几何得到进一步的改变。

Riemann 几何在 Einstein 的广义相对论上有很大的贡献。由于 Einstein 对微分几何不太了解的缘故，刚开始推导出来的方程式是有缺陷的。到数学家跟他合作以后，他才推导出正确的方程，对 Riemann 几何来说，这是一个很大的鼓舞，抽象的想法竟然得到物理学上的重要应用。反过来说，广义相对论成功 以后，对于 Riemann 几何的发展产生了很大的刺激，整体微分几何跟广义相对论因此有着密切的关系。在 Riemann 几何本身，我们当然能够找到有意义和漂亮的问题，可是有一些观念，几何学家没法单凭几何直觉得出。到了物理学家 要追求一些实际的问题时候，我们才了解它的重要性和解决它的可能性。

十多年前，我跟一个朋友做一个广义相对论上的题目，这是一个好几十年的老问题。当时几何学家不太懂这个问题，物理学家向我们解释清楚以后，我们才知道，它的特殊情形基本上是一个几何问题。因此我们对它有很浓厚的兴 趣。我们将它用几何的方法解决以后，才去处理物理学家要求的原始问题，我们从古典几何的观念来看这个问题的一般情形时，我们认为这是不可思议的。事实上，当我们将这个问题全部解决了以后，一个很有名的几何学家还坚持这不可能是对的，可以见到古典几何的直觉有一定的规限。反过来说，物理学家也有他们的规限，例如刚才讲这个问题，他们想了很久也没有办法解决，而我们用几何的方法却将它解决了，所以这是一个互补的情形，有些命题在我们来说 几乎是不可能对的，物理学家却极力坚持，认为物理的直观会遇到挑战，所以我们愿意花很大的功夫去了解它。假设当时物理学家没有极力坚持的话，恐怕我们不可能花这么多时间去考虑它。以后物理学家引进超引力的观念，简化了上述问题的证明，反过来对几何学有很大的帮助。Einstein的引力理论给几何 注进新的生命，物理学和数学的交流至为重要，这是几何发展的一部分，这条路线会走下去，这是无可置疑的。

未来半个世纪，几何学家会解决从古典广义相对论里面出现的问题，物理学家大概发觉这方面的数学问题有相当的困难性，所以不大愿意做古典广义相对论的理论问题。他们的兴趣是时空的量子化，这当然是很重要的，它是统一场论的最关键问题：也产生了很多有意义的几何问题，例如熵的定义就是一个有挑战性的命题。

古典的 Einstein 方程是一个很漂亮的方程，产生了很多重要而有意义的几何现象，其中最重要的是时空的奇异点问题。这几十年来数学家研究奇异点，在代数几何方面有很长远的进步。一个很出名的定理是 Hironaka 的 Resolution of singularity ，这是三十年前做的，与微分几何不同的地方是代数几何的奇异点是 比较容易定义的。因为代数流形是用一组多项式定义的，流形本身可以定义奇 异点。代数几何学家有很有效的方法来了解奇异点的结构。另一方面 Mather 和 Arnold 等好几个数学家考虑了所谓平滑奇异点（smooth singularity）的问题；不一定由多项式定义，而是由平滑函数（smooth function）定义。他们引进了很多拓扑学的工具，基本上的方法还是变成多项式的情形来解决。可是这些方法对于时空的奇异点问题暂时没有帮助，

研究一般性的奇异点，无论在物理上、微分方程上或者几何上，都是基本的问题，这些研究正在萌芽，可是对于真正了解它们还是相差很远。例如在广义相对论里，奇异点没有一个很好的定义。我们知道奇异点是在时空的边界上，与我们现在所看到的 Minkowski 时空是不同的，这是简单的事实，它的局部性质跟一般时空不一样，但我们不了解它们的内在结构，连该问的问题我们都不太清楚，真是一个很困扰的状况。广义相对论的进步，要依靠我们对微分方程的了解。为什么呢？因为古典的广义相对论本身是由 Einstein 方程来决定的。假如我们脱离了 Einstein 方程，得出来的结论只不过是一个抽象的架构，不能够说符合广义相对论的要求。不幸的是 Einstein 方程式是一个很复杂的非线性双曲线方程组。我们对它的了解极为薄弱。我们希望能够从 Einstein 方程得到时空的奇异点观念。当 Cauchy problem 的初始值是光滑的时候，时间向前走，我们要问奇异点是怎样产生的。了解了奇异点产生的机制，我们才能了解奇异点的结构。在广义相对论里，有两个重要的奇异点：一个就是黑洞，一个就是裸的奇异点（naked singularity）。这两个不同的奇异点有浓厚的物理意义，我们期望从方程上能够了解它们。当初始值光滑时，这两种奇异点如何产生。对一 般的光滑初始值，裸奇异点可否出现？这是古典相对论最重要的问题。

一般物理学家研究黑洞时，用几个主要的解来解释它们的特性，这就是 Schwarzs child 的解和 Kerr 的解，可是这两个解不见得有一般性。我们希望从微分方程或者几何的观点来了解这些一般解的性质。例如证明星云毁减时，时空会渐近一些基本解，或者在这些解集合里跳跃，也希望知道这些基本解奇异点的结构，找出奇异点的结构，不单对黑洞本身的了解有重要意义，重力辐射（gravitation radiation）的问题也会得到帮助。现在的观察仪器差不多可以观察到重力辐射。可是从观察得到的资料的意义，还不清楚。因为无论从理论上或计算数学上，我们都没有办法从 Einstein 方程里将辐射公式很透彻地了解。这个问题跟奇异点应该有关，在这几十年内希望能有很大的进展。

我们看到的几何现象都会有某种奇异点。我们怎么去分类它？奇异点有不同的类型，一种是人为的，一种是自然的，这两类奇异点我们都要去研究。人为的奇异点在工程计算往往会出现，而自然的奇异点则从物理方程可以推导出来。Einstein 方程里边的奇异点是最困难的问题。规范场的坐标没有选好也可以得出奇异点。

Einstein 方程不单是一个最重要的非线性微分方程，也影响时空的拓扑，对微分几何学家来说是一个挑战，因为奇异点可以将时空的拓扑吸取。一般来说，微分几何从几个背景来建立我们的理论，拓扑结构就是最重要的背景。当奇异点破坏了这个背景时，我们有时会手足无措。

微分几何学家对拓扑学一直都很重视。现在讲最近拓扑学的走向，跟微分几何的关系。微分几何跟拓扑学的密切关系可溯源至 Euler 公式和 Poincare 天文物理的研究。而复分析却是微分拓扑萌芽的一个关键。它在 19 世纪已经有很深入的发展，不过很多自然的复函数有单值化的问题。例如 1og 函数在平面上有 branch cut ，所以复数分析要处理这个问题。从此处可以引出 monodromy 群对同调群的作用和整体拓扑学的一个发展，其实 monodromy 群可以看作规范场理论的一部分。用 monodromy 群来控制整体几何和代数系统仍然是一个蓬勃的方向，通过群表示理论，它在几何学里起着很大的功用，由复分析理论引出 Riemann 曲面的理论，可以说是近代拓扑的第一块基石，我们开始研究外微分形式的周期问题，例如可以在上定义而且在任何绕零的闭曲线有同样的周期，这影响了de Rham 定理的发现。拓扑学和复数分析结合起来以后 产生了复几何。高维空间复流形和代数几何的发展息息相关，homology的观念 和代数Cycle的理论相关而互相辅导，Lefschetz Pencil 和 Morse 理论的发展也是互助的。20 世纪初期对流体方程和电磁方程的研究，使得几何学家引进了 Hodge 理论，以后的 Yang-Mills 理论源于高能物理方程，却可以看成为非交换的 Hodge 理论。为了解如何处理整体微分几何的问题，Cartan ，Whitney 等引进了很多重要的观念，其中纤维束和特征类是其中最重要的。这几个观念影响了 20 世纪整个数学的发展，包括了微分几何、代数几何、代数和数论。Whitney 考虑了 tangent bundle ，normal bundle 和一般的 vector bundle 的观念。Vector bundle 在 Whitney 手上变成拓扑学里面一个最重要的工具。他考虑了classifying space 的观念并研究 Grassmanian 空间及它的同调群，因此引进了特征类。他的乘积 公式影响至今。Pontryagin 和陈省身更进一步考虑实数和复数空间的特征类。

Pontryagin Class 和 Chern Class 都可以用曲率表示，它们代表了大范围的拓扑学观念，而曲率是一个局部的观念，这两个观念结合起来以后，我们就可以将局部的微分几何跟大范围的拓扑比较。微分几何从古至今都期望从局部的结构来了解大范围的几何结构，这也是物理学家的期望，他们希望由微小的粒子理论和微分方程来推导宇宙的结构，可见物理学家跟几何学家有很多共同的想法。也因此我们都想了解奇异点的局部结构。

决定了流形的结构后，我们要研究它上面的规范场，由不同的 vector bundle 可以得到不同的 Yang-Mills 场。Grothendick 建议将所有 vector bundle 放在一 起，然后做简单的等价和加法就得到所谓 K 群的观念，这是几何学很重要的不变量，Atiyah 和 Bott 利用它解决了多个重要的问题，对时空的结构本身有基本的贡献。通过特征类，我们可以得到由 K 群到同调群的一个很重要的映射，这映射与 Riemann-Roch 定理有密切关系，这定理可以解决代数流形上的存在性问题，它能够计算代数方程的解。从前 Riemann 与 Roch 在一维情形下首先得到这个公式。到了 50 年代由于 Sheaf 理论和特征类的发展，Hirzebruch 成功地将它推广到高维空间。这可以说是本世纪一个伟大的定理。

有了 Riemann-Roch 定理，Atiyah-Singer 将它普遍化成 index theory 。Atiyah- Singer 发觉 Riemann-Roch 定理不单在代数流形上成立，同时也可以推广到一 般流形上。事实上这是椭圆微分算子指针的问题。加上 Bochner的消灭理论， index 理论可以将椭圆算子的解的个数变成拓扑学上的算法。这个发展对近代物理，尤其是高能物理里的 anomoly 理论有很大的贡献。

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Yang-Mills 理论在物理上有基本性的贡献。在近代拓扑学上也是举足轻重的。事实上数学家对规范场论的观念很早就有了。从 Whitney 发展 vector bundle 理论后，几何学家也考虑其上的联络和曲率，但很奇怪的是他们没有发展 Yang-Mills 理论。Yang-Mills 理论考虑规范场的曲率，将它平方积分然后做变分得到 Yang-Mills 方程。从前的几何学家对方程的兴趣不大，有些古典几何学家认为只有工程师才会去解方程。70年代中叶才将Atiyah-Singer的理论用到Yang Mills理论上去，得到长远的进步。以后最出名的工作当然是Donaldson的理 论。以前物理学家只讨论 S4 上的规范场，问 Yang-Mills 方程的解的维数有多少或者怎样去描述解的样子。可是很少人问在一般的流形上，我们怎么去解这个方程。Uhlenbeck 首先考虑一般空间上的规范场的性质，而 Taubes 用 Singular perturbation 的方法更证明一个很重要的存在性定理。Donaldson 用了 Taubes 的存在性定理再加上 Atiyah-Singer 的理论，研究四维空间上 Yang-Mills 场的 moduli space ,他因此构造了四维拓扑学的不变量。这是很重要的贡献，他解决了四维空间里一个很重要的拓扑学问题。这里可以看出来几何学家的走法和物理学家不一定相同，物理学家当时只想解决上面的问题。可是我们基于好奇心，发展了一套美丽的一般理论，然后解决了拓扑学上重要的问题。

Donaldson 的工作以后，Mrowka 和 Kronheimer 做了重要的贡献。他们将 Donaldson 的多项式结构搞得很清楚，引起了 Witten 的注意，Witten 企图要从量子场论来解释这个公式。物理学家对 Donaldson 的不变量一直在注意，可是始终没有办法将它解释得很清楚。到了 Kronheimer 和 Mrowka 将这个公式搞清楚了以后，Witten 才用路径积分的方法来了解 Donaldson 的不变量究竟在物理上是什么意义。他与 Seiberg 用 supersymmetric Yang-Mills 的想法，得出所谓 Seiberg-Witten 不变量。这两年来极为流行，在代数拓扑、微分几何跟代数几何发展里面是一个很重要的工具。很多 Donaldson 理论没有办法解决的问题，例如 Thom 猜测，却可以用 Seiberg-Witten 的办法解决。Seiberg-Witten 不变量跟原来 Donaldson 的不变量关系密切，但有惊人的简化。Seiberg-Witten 方程是非线性 U(I)gauge 方程 coupled with spinor 得来的。Seiberg-Witten 理论的最重要的定理是 Taubes 定理。他证明 Symplectic 流形的 Pseudo-holomorphic curve 的个数与 Seiberg-Witten 不变量基本等价，这是一个很深入的存在性定理，对四维的 Symplectic 流形有深刻的贡献，解决了很多古老的惟一性问题。究竟 Taubes 定理在高维空间有没有好的推广仍然悬而未决。一般来说，Symplectic 空间的自构群是无限维的，所以椭圆形方程方法比较难以应用，但 Taubes 定理指出它的可行性，以后应当有进一步的发展。

很多四维甚至三维空间的问题由 Seiberg-Witten 不变量得到解决。是不是所有四维的问题都可以由此解决呢？我想差得很远，四维空间的拓扑学实在很复杂，不可能由一两个想法全部解决。由于复曲面是四维空间最基本的例子， 任何四维空间的结构性理论都将与复结构有关，椭圆方程理论应当想办法找出可积的复结构的条件，这样会给出重要的信息，也将是一个困难的工作。但可以确信的是，低维空间的几何和拓扑息息相关。物理学指出八维以下的空间的理论都可能有交汇的地方，

三维空间的问题是一个很基本的问题，我想这里面有一个很重要的工具还没有完全掌握的。这就是存在性的问题。微分方程学常问什么时候存在解？事实上在数学发展的历史上，一个主要的突破是找到存在性定理的证明。我们在四维三维空间的存在性问题还没有完全解决。我们希望微分方程能够帮忙：椭圆系统存在性运用于低维的拓扑学上会有宏大的威力。我猜至少要几十年我们 才能够将这些结构全部搞清楚。但是可以看出微分几何会是物理、方程跟拓扑结合在一起的领域。从前 Thurston 用 Riemann 曲面和三维拓扑的方法得到一个重要的几何结构存在性的定理，但他的假设使得他的定理不能概括所有三维拓扑。二十年前我建议 Hamilton 用他的方程来创造几何结构，并解决 Thurston 的问题，由于 Hamilton 顽强的分析能力，此事已有长足的进步。希望在未来二十年内，Hamilton 方程能够发挥威力来解决三维甚至四维拓扑的古老问题，

偶数维空间都与复几何有关，但在四维和八维时有更丰富的几何结构，它们可以有和为和乐群的结构。而八维时更可以存在的结构， 在七维空间则可以有结构。它们的 Rcci 度量都等于零，而它们之间息息相关。物理学家很重视这些具有超对称的结构，给我们带进新的观念，但是微分方程还是主要的工具。如何证明这些结构的存在性是极为有意义的分析问题，这些自然的几何结构很有可能具有某些简单的奇异点，这些奇异点往往有自然的物理和几何意义，我们一定要解释它在整体空间的地位。

\section {丘成桐问题集} 在普林斯顿研究所的几何年的最后一段时间里，许多同行要求给出一个关于未解决的问题的综合报告，在与Bourguignon ，Calabi ，Cheng ，Kazda ，u,Li ，Schoen ，Simon ，Treibergs 和 Uhlenbeck 讨论后，我给出了一个六十个问题的清单并作了两次报告。后来，又补充成这个问题集 1 。我要强调此问题集并非包括所有的问题。问题的选择在很大程度上受到作者个人兴趣的影响，除去少数例外，我并不想提出其他领域中那些与微分几何有密切的关系或者可能采用微分几何的方法来解决的问题。问题的难度从“初等的”到“高深的”都有。然而，“高深的”问题可能由一个刚入门的学生在短短的几个月时间内给予解决，而“初等的”问题则可能在很长的一段时间内解决不了。我希望这个问题集能够给刚入门的学生一个关于这个方向的简明的概述。如果不是全部的话，大多数问题是众所周知的。如果一个问题有确定的参考文献或明确是由某个人提出的，那么这将被提到。否则读者可认为此问题是熟知的。最后，在此对那些看过初稿并提出补正、进一步的讨论及参考文献的数学家们表示感谢。他们是：F。J。Almgren,Jr,M。Berger,A。Borel,E。Calabi,J。Cheeger,M。Gromov和H。B。Lawson,在此也对James Mechraz在整理这些问题和参考文献中给予我的帮助表示感谢。

在研究这些结构时，我们要考虑它的模空间，一般来说，有意义的几何结构的 模空间是有限维的。同时在可能的情形下，保持 Hausdorff 的性质。在 Geometric invariant theory 的理论中，引进了结构稳定的观念，就是为了对付这个问题，有时为了达到结构的稳定，我们可能在原来的结构上再加其它新的构造。

二十多年前，我考虑 Calabi 猜测这个问题，解决了相当广泛的代数流形上的 Kahler Einstein 度量的存在性问题，这是重要的几何结构。当时我应用它得出代数流形的重要拓扑量的不等式，在差不多同时，代数几何学家 Bogomolov 和 Miyaoka 利用代数稳定性理论亦可以得出类似的不等式，所以我开始寻找代数流形稳定性和 Kahler Einstein 度量的关系。第一个重要的结论是 Donaldson 在代数曲面和 Uhlenbeck 和我在一般复流形上的定理。在 holomorphic vector bundle 稳定的情形下，我们证明它有 Hermitian Yang Mills 场，这是一个很重要的结论，无论在物理学和代数几何学上都有它的贡献。以后李骏、郑方阳和我更利用这个定理用来解决一个重要的复曲面的问题。因此我进一步猜测假如第一陈氏类可用 Kahler 的常数倍来表示，则 Kahler-Einstein 度量的存在性和流形本身的稳定性等价，在我的讨论班上，这是一个主要的讨论项目。我曾经提出一系列的研究这个问题的方法，我的研究生例如田刚、罗华章等的博士论文都与这个问题有关，但这个问题还待深入理解。

我认为几何稳定性理论除了对复几何外，对一般非线性方程亦会有贡献我相信非线性微分方程，几何稳定性和几何结构的交汇是一个很基本的问题， 在未来的几十年里将会有深入的互动，更可以想象的是它跟物理学上的 renormalization flow 会有密切关系。当结构稳定后，我们希望将全部结构完成一个紧致空间，因此要引进半稳定结构的观念，而这些结构可以看做模空间的边界，也因此一般来说它们有奇异点，这种自然产生的奇异点是微分几何学里面重要的奇异点，在这些空间上，研究它们的几何结构，规范场和子流形是很有意思的事情，往往经过 singular perturbation 后，我们对原来光滑的几何结构会有更深入的了解。

除了研究几何结构的模空间外，还有规模场、子流形和全纯映像空间的模空间，周炜良在代数子流形模空间上有伟大的贡献。这些模空间的拓扑和陈氏类 都是代数流形的重要不变量。它们有重要的物理意义，Donaldson 的不变量是从规范场的模空间引出，上述的弦理论在代数几何上的应用是从全纯映像的模空间得出，如何了解这些模空间的拓扑意义是极为重要的。事实上，Donaldson 理论的一个重要起点在于 Hermitian Yang Mills 和 anti-self-dual connection 的等价性，而后者在一般的四维流形亦可定义，其模空间在generic的Riemann度量下 最为清楚。代数几何的工具可以计算Donaldson不变量。而后者让Donaldson证 明它是微分不变量。 Donaldson 对这些模空间的了解是他的理论成功的一个原因。

代数几何学里一个最重要的问题乃是 Hodge 猜测。如何知道一个拓扑同调类可以由代数子流形来表示，这是一个困扰了数学家大半世纪以上的问题，它在数论上亦占一个重要地位，在未来的世纪里它应该得到解决。与此相关的一个极为重要的问题问：复的 vector bundle 在什么流形下有全纯结构？及复流形什么时候存在可积的复结构？这都是极为重要的问题。它们的模空间如何描述？Hodge 结构和 Torelli 定理就是很重要的关键，它在高维空间的推广和在 vector bundle 的意义是值得发展的方向。

弦理论引进了奇妙的对偶观念，我们需要深入地了解其中的几何意义，这些对偶将上述各种几何结构、规范场和子流形漂亮地连结起来而得到出乎意表的结果，我们不可能漠视它们的重要性。基本上，几何学家应当有宏观的视野，表面上不同的结构可藏有深入的联系。

算术几何的发展使代数几何开阔了视野，它引进了重要的工具，也渐渐地影响了微分几何的看法，尤其是 Calabi--Yau 流形与算术几何的关系日益密切， 弦理论的对偶理论和算术几何的L函数的发展应当指日可待。

算术和几何的互动无可避免会考虑 Arakalov 几何和由此引出的微分几何问题。有限域上的几何可以提供微妙的方法来了解一般代数流形的性质。在这方面最著名的定理是 Moi 在有理曲线方面的著名工作。我们希望能够从不同的角度用几何方法来了解 Frobenius action 。最近几年来在 Calabi-Yau 流形上的工 作，显示它在算术上的关系将会愈来愈密切。我们需要一个通盘的考虑，将算术几何、代数几何、微分几何、分析和弦理论的保角场理论结合在 Calabi-Yau 流形上来讨论。

Shimura 流形在算术几何和分析中有很重要的应用，但我们对它的拓扑和种种几何性质了解并不清楚。我想在这个问题上，高维拓扑的理论会重新发现 它的重要性。举例来说，如何决定一个流形拓扑与 Shimura variety 同胚是一个有趣的问题。

更进一步的问题是，什么时候可以决定一个流形是某些自然结构的模空间。研究模空间的拓扑性质需要融合几何几个不同领域的学问，它的 intersection cohomology 和 L2 cohomology 的关系就是一个例子。

微分几何经过种种的融合后将会是多姿多彩的，但是它能否有足够丰富的 结构来迎合近代物理时空量子化的需要，这是一个意义深长的问题，有人建议用非交换几何的架构，有人建议碎形几何，让我们拭目以待吧。

开始时，我谈到几何的发展受到应用数学的影响。在古代测量地形和建造房屋、金字塔的时候很明显地意识到平面和立体几何的重要性，以后 Kepler 对二次曲线和正立体的兴趣更指出天文物理和几何的密切关系。

自从古典力学和工程学得到良好的结合以后，很多自然界的现象，例如水流、湍流、光波散射的种种问题都得到某些认识并引出优美的几何现象，例如 geometric optics 和孤立子 soliton 等理论都是很有意思的问题，近代计算机的进步影响了图论的发展，更引进了很多几何的观念，而 pattern recognition ，computer graphics 更是直接的用到几何的方法，例如多维图形的剖分，离散群和格点的分布等等，可以见到几何学家不应忽视工程上的问题：

微分几何确是一门丰富的学问，本文并未概括所有有意义的工作，但已经看出 21 世纪的几何学将会是数学和一般科学的中心。