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纽结理论和琼斯多项式
来源:尚万只老虎
作者:尚大海
用绳子打结是我们每个人必备的一项技能,比如每天早上系鞋带,系包装袋,男士打领带,女士带发箍,小孩子要把秋千绑到高高的树枝上……但有些时候我们也需要考虑一下,到底该怎么打结才不容易松脱,否则后果可能会很严重,比如攀岩结,水手结,还有医护人员用的包扎结。
水手结
这些结一般都是有两个端点的绳子,理论上无论怎么缠绕都是可以解开的。但是数学家研究的结不太一样,需要把绳子的两个端点系在一起,形成一个闭合的圈,这样的纽结就不一定能解开了。
纽结理论始于人们对宇宙基本构成的猜想。1867 年,苏格兰数学家和物理学家泰特(Peter Guthrie Tait)向他的朋友和同胞威廉·汤姆森(William Thomson ,即开尔文勋爵)展示了他的产生烟圈的装置。开尔文勋爵被烟圈的迷人形状和稳定性所吸引,于是产生了一个大胆的想法:或许就像烟圈是空气中的漩涡一样,原子也是发光“以太”中打结的“漩涡环”!当时的物理学家认为,光是通过“以太”这种不可见的介质传播的。
涡旋理论在科学界获得了关注,并启发泰特开始将所有可能的纽结分类列表,创造出他所希望的、与元素周期表对应的东西。可惜的是,1887 年,著名的迈克尔逊-莫雷实验证明并无“以太”这种东西,而少了那介质,开尔文的原子涡漩理论就行不通了。然而,泰特已经被纽结的数学优雅所深深吸引,一如既往地继续他的列表计划。在此过程中,他创立了数学领域中的纽结理论(knot theory)。
彼得·泰特(Peter G. Tait,1831-1901),纽结理论的先驱
数学上研究的纽结是三维空间中的简单闭曲线,即连通的封闭的不自交的曲线。一个圈叫作一个纽结(knot),多个圈叫作一个链环(link)。如果把一个纽结在三维空间中经过连续变形(不许剪断或粘合)而变成另一个纽结,我们就说这两个纽结是等价的(equivalent),或同痕的(isotopic)。纽结可以用投影图来表示,这些投影图必须满足以下 3 个条件:
1. 只有有限多个重叠点。
2. 每个重叠点都是二重点。
3. 每个二重点处,上下两线的投影图都是互相跨越交叉的,实线在上虚线在下。
以下是一些纽结的投影图。
一些交叉数不超过 7 的纽结的投影图
第一个投影是一个圆圈,叫做平凡结(unkont),也叫“非结”,因为它没有打结,投影没有交叉。当然你可以把一个平凡结在三维空间扭转几下,让它的二维投影多一些交叉,但是这些交叉也可以通过还原扭转来消除,因此它的最小交叉数是 0 ,我们把最小交叉数就称为交叉数(crossing number),因此交叉数为 0 的就是平凡结,交叉数不为 0 的就是非平凡结。
第二个是三叶结(trefoil knot),它的交叉数为 3 ,是交叉数最少的非平凡纽结。三叶结与它的镜像不等价。把一个纽结放在你和一面镜子之间,你看到的镜子中的纽结就是它的镜像。把每个交叉点处的实线和虚线互换,就得到镜像的投影图。你无法通过连续变换把一个三叶结变成它的镜像,就像你无法把左手变成右手一样,这就叫手性或手征性(chirality),三叶结是有手性的(chiral)。
第三个是 8 字结(figure eight knot),它的交叉数为 4 。8 字结与它的镜像是等价的,你可以通过连续变形把一个 8 字结变成它的镜像(后面会详细介绍)。这叫无手性(achirality)或兼手性(amphichiralty)。
8 字结的三种投影
一个投影图代表一个纽结,可一个纽结却有不同的投影图表示。由此可见,要利用投影图来研究纽结理论,先决条件是必须弄清楚:纽结在空间中的移位变形怎样在投影图上反映出来。德国数学家赖德迈斯特(Reidemeister,1893-1971)归纳和设计出三种基本的对投影图的变换,即赖德迈斯特运动(Reidemeister Moves),其它更复杂的变换都可以由这三种运动组合拼接而成。
Reidemeister 运动
第一种运动 R1 称为“Twist”,即对一个射影打上一个卷或消除一个卷。
第二种运动 R2 称为“Poke”,把一根线拨到另一根线之下,成为一个叠置的二边形,或者从另一根下拨出,消除一个叠置的二边形。
第三种运动 R3 称为“Slide”,让一根线在两段线之下滑动并通过交叉点,考虑其它线段的相对运动,这里其实也蕴含了在两根线之上或者之间滑动的情形。
在上述三种运动的定义下,赖德迈斯特在 1927 年提出一个定理:称两个纽结为等价的(equivalent),即环绕空间同痕的(ambient isotopic),当且仅当存在平面同痕(planar isotopy),以及一系列 Reidemeister 运动,可以把一个纽结投影变换到另一个纽结投影。
这里有几个数学概念需要解释一下。在拓扑学中,一个纽结就是圆周 S^1 到三维空间 R^3 的一个嵌入 f : S^1→S^3 ,也就是三维空间的一个简单闭曲线。三维空间就是它的环绕空间,纽结在三维空间中连续变形的整个过程就叫做同伦(homotopy),即映射的连续变换,但是我们要求纽结在变形过程中不能割断或者粘合,这就要求每个时刻的映射(即切片 section)都是一个同胚(homeomorphism)即连续的双射,这样就不能撕裂或者把多个点压缩成一个点,同胚也叫拓扑等价(topological equivalence),确保纽结在整个变形过程中均保持拓扑结构的不变性,这种特殊的同伦就叫作环绕空间同痕(ambient isotopy),简称同痕(isotopy),同痕相当于一个单参数的同胚族。同理,在二维空间里面,曲线保持拓扑结构不变的连续形变,就叫作平面同痕(planar isotopy),因此平面同痕不改变纽结投影图中交叉点的数量。
平面同痕与三种 Reidemeister 运动
平面同痕和环绕空间同痕有什么关系呢?如果两个纽结的投影之间存在平面同痕,那么这两个纽结之间一定存在环绕空间同痕;反之则不然,环绕空间同痕的两个纽结,它们的平面投影可以改变交叉数量,这些都不属于平面同痕,但是可以分解为一系列 Reidemeister 运动。平面同痕是很平凡的运动,而我们主要关心不平凡的运动与纽结同痕的关系,因此可以说,纽结的同痕形变本质上是由三种 Reidemeister 运动来刻画的,这样就把三维空间的纽结降到二维投影平面来研究。
前面我们说到 8 字结和它的镜像等价,根据 Reidemeister 定理,就一定存在一系列 Reidemeister 运动把 8 字结投影变换成它的镜像,如下图所示:
8 字结投影通过一系列 Reidemeister 运动变成自己的镜像
如果一个纽结投影图的性质在 Reidemeister 运动下保持不变,我们就称该性质为纽结的同痕不变量。如果两个纽结的同痕不变量有不同的值,那么这两个纽结一定不同痕;但是反过来,如果同痕不变量的值相同,却并不能确定两个纽结一定同痕。同痕不变量的值相同只是纽结同痕的必要而非充分条件。因此,人们一直在寻找鉴别力更强且便于计算的同痕不变量,以帮助区分更多不同类型的纽结,这也是纽结理论的一个主要课题。
那么同痕不变量有哪些呢?
交叉数(crossing number)就是一个同痕不变量,交叉数不同的纽结一定不同痕,但是交叉数相同的纽结却并不一定都同痕,实际上随着交叉数的增加,纽结的类型数量呈指数级增长。
交叉数不超过 16 的素结的数量
交叉数不超过 8 的全部素结以及交叉数为 9 的大部分素结
如果一个非平凡纽结,不能被分解为两个非平凡纽结的连通和,那么它就是一个素纽结(prime knot),否则就是复合纽结(composite knot)。平凡纽结既不是素纽结也不是复合纽结,正如 1 既不是素数也不是合数。
前面介绍的那些纽结投影图都是素纽结,比如三叶结、8 字结等等。而我们日常生活中经常用到的两种打结方式:方结(Square Knot)和奶奶结(Granny Knot)则是复合结,方结是两个手性相异的三叶结的连通和,而奶奶结是两个手性相同的三叶结的连通和。
两个手性相异的三叶结的连通和构成方结
两个手性相同的三叶结的连通和构成奶奶结
方结比较牢固,奶奶结却容易松散,就像老奶奶一样软弱无力,所以也叫懒散结。
纽结投影图还有一个重要性质——三色性(trichroism)。如果纽结投影图的每个交叉点的三条线颜色各异,或者颜色相同,但不允许所有线条使用同一种颜色,我们就称这个投影图是三色的(tricolored)。
三色性表明三叶结不平凡
三色性是一个同痕不变量,即在 Reidemeister 变换下,该性质保持不变(分析颜色配置的几种情况即可证明)。三叶结的投影图是三色的,而平凡纽结的投影图不是三色的,所以三叶结不平凡!
三色性还可以用来证明某些链环是扣住不散的,因为可分离的链环的投影图一定是三色的,如果有一个投影图不是三色的,那么它所代表的链环就是不分离的,即互相扣住不散的。
下面介绍有向链环的一个最简单的同痕不变量——环绕数(linking number),它可以衡量两条有向闭曲线互相环绕的程度。
首先我们要确定交叉点的正负号。如上图所示,交叉点处实线在上虚线在下。如果请你将上面的实线箭头转动最小的角度,让它与下面的虚线箭头重合,你会怎么做呢?通过观察你会发现:左图按逆时针方向旋转的角度最小,而右图按顺时针方向旋转的角度最小。我们规定,按逆时针方向旋转角度最小的交叉点为正交叉点,记为 +1 ;反之则为负交叉点,记为 -1 。
如果把链环 L 中所有交叉点的正负号 ±1 全部加总,就是 L 的拧数(writhing number),记为 w(L) 。拧数在 R2 和 R3 这两种运动下不变,但在 R1 下会变,所以拧数不是同痕不变量。那我们能否做一些修改而构造出一个同痕不变量呢?
设 K1、K2 为有向链环 L 的两个分支,定义 K1、K2 的环绕数 Lk(K1,K2) 为 K1 与 K2 的交叉处(不包含 K1、K2 跟自己交叉或跟其它分支的交叉处)的正负号总和的一半。当链环 L 只有 K1、K2 两个分支时,也可以把环绕数 Lk(K1,K2) 简记为 Lk(L) 。
由两个纽结嵌套而成的链环的环绕数为 ±1
容易验证,和拧数类似,环绕数在 R2 和 R3 运动下保持不变,由于环绕数是定义在不同分支的交叉点处,所以单个分支与自身的交叉点变化对环绕数没有影响,即在 R1运动下环绕数也不变。于是我们就得到了一个真正的同痕不变量——环绕数。
两个纽结堆叠而成的平凡链环的环绕数为 0
由环绕数计算示例可知,两个套在一起的纽结形成的链环,无论怎样定向,它的环绕数都是 +1 或 -1 ,而不会等于 0 。但是,由两个分离的纽结堆叠在一起,组成的平凡链环的环绕数必为 0 ,所以两者不等价。
环绕数的观念是高斯(Gauss)在研究电磁现象时首先提出来的。如下图所示,两条有向闭曲线K1和K2组成一个霍普夫链环(Hopf link),K1是一条封闭导线,有单位强度的直流电在其中通过并产生一个磁场,如果一个带单位磁荷的磁单极子沿 K2 运动一周,磁场对磁单极子所做的功,就等于环绕数 Lk(K1,K2) 的 4π 倍。
一个磁单极子在闭合电流产生的磁场中沿着一条闭合路径移动一周
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