悬赏百万美元的数学名题——最难的致富方式

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悬赏百万美元的数学名题——最难的致富方式

原创 杜先伟 MathSpark 2023-12-14 08:00 发表于陕西

有一条小路穿过田野通向新南门，我过去常常一个人去那里看日落，考虑自杀。然而，我并没有自杀，因为我想更多地了解数学——罗素。



我记得在大学的时候，每周五我都会做一些很难的数学题目，当我做完之后，我会给自己奖励一块巧克力，那时我的许多同学都在复习功课，而我只想着今天能不能吃到巧克力。

将奖励与难题联系起来并不是我的原创。在我们认为是千禧年的那一年，总部位于美国的克莱数学研究所（CMI）在巴黎的一次国际数学会议上指出了一些最难解决的数学问题，并为每个问题悬赏了一百万美元。

在这次会议的整整 100 年前，同样在巴黎，著名数学家大卫·希尔伯特发布了一份包含 23 个预选数学问题的清单，邀请所有数学家参加一个伟大的挑战。这个挑战受到了热烈的响应，对这些问题的解答在 20 世纪塑造了数学的面貌。如果你感兴趣可以搜寻希尔伯特 23 个问题这方面的资料，我们在往期的推送中，也做过相关的介绍，可以参考“希尔伯特——我们必须知道，我们必将知道”、“希尔伯特第 10 问题的伟大征程——第一季”、“希尔伯特第 10 问题的伟大征程——第二季”、“希尔伯特第 10 问题的伟大征程——最终季”。

在克莱数学研究所的挑战发起 22 年后，七个问题中只有一个被解决。俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼解决了庞加莱猜想，但更有趣的是，他拒绝接受这一百万美元的奖金。



从悬赏百万美元问题提出至今，已经过去了 23 年，其余 6 个问题仍然未得到解决，它们分别是：

1. 黎曼猜想

2. P 和 NP 问题

3. 霍奇猜想

4. 杨-米尔斯存在性与质量间隙问题

5. 纳维-斯托克斯方程存在性与光滑性问题

6. 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想

这 6 个问题实际上代表了最困难的赚取 100 万美元的方式。这期我们对这 6 个公开问题做一个简要介绍，我们从黎曼猜想开始。



黎曼猜想：

黎曼猜想是伟大数学家伯恩哈德·黎曼提出的一个问题，自 1859 年以来，这个问题一直未被解决。事实上，它是如此困难，以至于希尔伯特对这个问题有如下评价：“如果我在睡了一千年后醒来，我的第一个问题将是：黎曼猜想被证明了吗？”相关的技术内容，我们在黎曼猜想的命运，这篇推送中提到过，如果有一天有人证明黎曼猜想是正确的，一切都会改变。我们对于质数的了解将达到前所未有的地步，

正如你可能知道的，质数在数学上被定义为只能被1和它本身整除的数字。然而，没有公式可以定义质数遵循的模式。目前，我们只能通过尝试和试错的方式找到质数。然而，当我们可视化质数的分布时，我们开始感觉到它们遵循某种模式。



更为神奇的是质数与量子物理之间存在某些联系，这意味着当黎曼猜想被解决时，我们将也会对物质有全新的理解。

P 和 NP 问题

P=NP 是一个方程式，它询问每一个可以快速验证其解决方案的问题是否也可以快速解决。计算机科学家斯蒂芬·库克在 1971 年提出了这个问题。

我当然也会给你一个例子，以便你更好地理解这个表达。找到一个大数的因子需要很长时间。然而，我们可以通过简单快速地将它们相乘，来验证它们是否确实是那个大数的因子。因此，我们可以在多项式时间内解决它，这种操作被认为是“快速”的。

在计算机科学中，我们称需要解决的算法为 P ，而我们可以如前所述验证的问题为 NP 。如果我们在多项式时间内实现了 P ，我们也可以在多项式时间内实现 NP 。然而，我们能说相反的情况也是真的吗？这正是斯蒂芬·库克在 1971 年所提出的问题。对于每一个我们能在多项式时间内解决的 NP 算法，我们是否可以在多项式时间内实现 P 算法？ 这样说还是很绕，详细的解释，可以参考 P=NP 。

有人证明 P=NP 的那一天，许多数学家将失业。这是因为 P=NP 意味着证明一个数学定理和验证它将是一样的。所以简单来说，创造性的工作和机械的工作将是一样的。更进一步，所有银行系统将崩溃，因为破解密码将是一件瞬间的事情。考虑到这种可怕问题的发生，我倾向于这个问题的答案是否。



霍奇猜想

光是表述这个问题就已经超越了我的知识范畴了，所以我只能很粗略地来介绍：霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。它在威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇著述的一个结果中出现，他在 1930 至 1940 年间通过包含额外的结构丰富了德拉姆上同调的表述，这种结构出现于代数簇的情况（但不仅限于这种情况）。

更简单地说，霍奇猜想试图将两个数学概念联系起来。在 20 世纪，数学家们发现了一种观察和检验复杂对象的强大方法。这个想法是将越来越大的对象组合起来，以达到最接近原始对象的形状。这种技术非常有用，以至于在许多应用中被广泛推广，不幸的是，通过这些概括，这个过程的几何起源变得模糊。好了，我相信大家也只记住了这个猜想的名字，我也是。克莱数学研究所有一份介绍霍奇猜想的官方文档，我截了部分图，大家可以看一下。



杨-米尔斯存在性与质量间隙问题

杨-米尔斯理论是物理学的一个分支，这个理论主要使用数学对称性来定义粒子。虽然物理学家使用杨-米尔斯理论来区分自然的力量，但目前还不知道杨-米尔斯方程是否有解。即使这些解存在，也不确定它们是否具有“质量间隙”来解释为什么物理学家无法分离夸克。根据数学家的说法，目前没有方法或模型来处理这个问题。



纳维-斯托克斯方程存在性与光滑性问题

这个问题涉及一组描述不可压缩流体运动的微分方程。简而言之，它是描述流体行为的方程。它是通过将牛顿的第二定律应用于流体而得出的。它负责飞机的飞行、电力生产、天气预报，甚至船只的制造。一个有趣的例子是皮克斯如何使用斯托克斯方程来平滑地制作他们的作品。虽然看起来相对简单，但三维纳维-斯托克斯方程很快就变得复杂起来。

普林斯顿大学的查尔斯·费弗曼说：“你可以从相对简单和确定的纳维-斯托克斯方程开始，但解决方案可能极其不可预测。”处理这些方程的人说，会形成“奇点”，在这些点上有效性丧失，事情变得极其混乱。

据说，如果数学家能够“驯服”纳维-斯托克斯现象，它将在流体动力学领域带来根本性的变化。“如果证明是正确的，这将是最高级别的壮举，”费弗曼说。



贝赫和斯维讷通-戴尔猜想

这个猜想在六十年代提出，涉及曲线上的有理数，在密码学中广泛使用，对于解决诸如费马最后定理之类的问题非常重要。数学家使用一个称为 L 系列的方程来处理这些曲线。

戴尔猜想指出，如果一个椭圆曲线有无限多的解，那么它将在 L 系列的某些点上等于零。

被遗弃的草根

我曾经考虑过这些数学难题，但是，无从着手；看来，官方机构设的奖，就让官科数学家优先去拿吧。
我们这些民间数学爱好者则更适合去研究民间个人或/和民间团体设奖的数学难题，比如：Beal猜想，Collatz猜想；或者一些没有设奖的数学难题，比如：歌德巴赫猜想，ABC猜想，孪生素数猜想等。