致敬数学史上最强主妇 Marjorie Rice —— 悠然的单五密铺镶嵌折纸设计历程

luyuanhong

致敬数学史上最强主妇 Marjorie Rice —— 悠然的单五密铺镶嵌折纸设计历程

作者 : 傅薇

Abstract : 本文介绍笔者（折友悠然）历时三年有余设计的百年数学难题——单一凸五边形密铺的镶嵌折纸设计过程（15 类，每类一纸，还有一题多解）：从画单元图，到折纸布局，到压平，到纠错，及至完成 CP 图，出模拟聚合图。其中涉及数学的解题技巧和折纸的设计技巧。单五密铺折纸设计是数学/折纸跨学科领域研究不可多得的案例，设计完成的一纸折叠模型也可以改用其他材料应用于艺术、工程、生活等领域。完成过程相当困难，最终能够圆满完成，是对 Marjorie Rice 的致敬。

一、单一凸五边形密铺介绍

二维平面中，可周期性单密铺的多边形包括：单三、单四、单六（3 类）及下表中的单五（15 类）（均指单一凸多边形）。


表  1 : 单五密铺发现者及年份

二、单一凸五边形（15 类）的单元画法

2.1 单一凸五边形满足的边角公式


表 2 : 单五密铺各类单元示例及公式（边角关系公式）

2.2 单一凸五边形单元的尺规作图法

想要将单五密铺进行折纸设计，首先需要尺规作图画出它的精确单元图形（一个五边形），然后再画出密铺单元（由几个五边形组成），之后才有可能开始后续的折纸布局等步骤。

下面举几个示例说明一下画图步骤，如果原单元公式提供一定角度自由度，则画图步骤应满足多角度的设定。


图 1 : TYPE 7 单元精确画法


图 2 : TYPE 8 单元精确画法


图 3 : TYPE 9 单元精确画法


图 4 : TYPE 10 单元精确画法


图 5 : TYPE 11 单元精确画法

以上是 15 类单五密铺中比较难想到的精确单元尺规作图方法，其它单元画法相对简单。第 14 类较难，在本人 2022年的数学征文中有详细介绍。

三、单一凸五边形（15 类）的折纸布局

一个密铺画形的折纸设计可能不只一种（比如，type 5 就有十多种折纸设计），即不同的折纸（布局）设计可以折出相同的折纸图案。

折纸布局，即将折纸图案拆解成小块单元，让它们分布在一张纸上的某种方式，准则是这种分布方式能保证纸上拆解后的小块单元能够通过折叠，保证原图中相邻的边重合、原图中相交的点重叠。或者我们也可以把折纸设计看成一场图案与 CP（折痕图 Crease Pattern）之间的翻译。

3.1 介绍 type 10 的折纸布局：


图 6 : TYPE 10 的四种折纸布局

可以看出，上图中包括两种块间关系，一种是矩形直角边重叠，一种是等腰边重叠，这两种布局方式都可以保证对应边通过折叠重合。但要注意的重点是“全局性”，不止是两块之间，需要保证纸面上所有块都满足对应边重叠条件才行。上面四幅图中，（1）图中都是直角关系；（2）图中两黄块间是等腰关系；（3）图中两红块间是等腰关系；（4）两黄块、两红块间都是等腰关系。

3.2 平行四边形对称压平纸层关系举例：

除了上述两种边对称（折叠）关系，还可以有“梯形”关系，是等腰关系的变体；还可以有“平行四边形”关系，将平行四边形分解成两边等腰+中间矩形或两个中心对称的梯形。

比如，下面这道题就是平行四边形对称关系，压平纸层的例子：


图 7 : 平行四边形对称关系压平纸层考题


图 8 : 平行四边形对称关系压平纸层解答

3.3 双动点等腰关系布局方法：

单五密铺中的折纸布局，若要满足前文提到的等腰关系，相当于要同时满足两个动点的等腰要求，如：某一块上的顶点 A、B 需要满足距离 S、T 两点定长距离（两定长距离可相等可不等）。A、B 两点也可以是某几个已经确定关系的组块中的两个点。下面以 type 9 单元块进行图示说明：


图 9 : 折纸布局中的双动点等腰关系确定方法（题目）

针对这个题目，笔者找到两种方法，分别针对线段的首尾。熟悉掌握它们后，对掌握折纸布局大有裨益。可以说，没有这个方法，15 类单五密铺的后两排（type 6 ~ type 15）折纸设计很大可能是做不出来的。


图 10 : 折纸布局中的双动点等腰关系确定方法（方法 1）


图 11 : 折纸布局中的双动点等腰关系确定方法（方法 2）

四、折纸设计中的压平、纠错

4.1 前川定理和川崎定理

日本著名折纸大师前川淳（Maekawa Jun）提出前川定理（Maekawa's Theorem）：

可压平的情况下，纸张内部任意一点引出的峰谷线数目之差为 ±2 。

日本著名折纸家川崎敏和（Kawasaki Toshikazu）提出川崎定理（The Kawasaki Theorem）:

可压平的情况下同一点引出的峰谷线所形成的角逆时针排序，奇(偶)数角角度和为 180° 。

这两条定理是折纸压平的必要条件，也是检查 CP（Crease  Pattern 折痕图） 是否正确的依据，对平面镶嵌折纸作品尤其重要。

说它们是必要条件而不是充分条件，是因为即便用软件检测完无错的 CP 图（软件可以检测 CP 是否满足这两条定理），全都修改好后，按照 CP 折纸仍有可能压不平。至于从必要条件到充分条件缺失的条件，大概还在探索之中。

4.2 满足前川定理和川崎定理仍遇到的问题

在实际折纸（设计）过程中，尤其是设计单五密铺这种复杂的折纸作品，会遇到各种各样意想不到的问题，折叠（folding）是个值得探索的领域，存在于多种材料中，我们用纸来研究它的折叠原理，但不应该局限于纸。折“纸”，只是因为它触手可得，且简单便宜，但笔者认为折叠原理更重要，遇到问题，解决问题，总结经验。下图以 type 11 为例：


图 12 : 折叠错误及纠错 1


图 13 : 折叠错误及纠错 2


图 14 : 折叠错误及纠错 3

上面出现的三个错误，都是软件检查无错误（满足两条定理），但实际却不能压平的情况。根据笔者经验，可以考虑改变峰谷线顺序，同一节点周围最好峰谷交替；纸层可上可上的，尽量把纸层向旁压平，一层挡住另一层；软件只显示透光图，而不显示正/反面图的，最好实际折一下，可能存在封闭区域立起的情况，导致不能压平，可以考虑将峰谷互换或选择其他折法。

四、15 类单五密铺折纸成果及总结

展示 15 类中几个复杂的折纸作品如下：（虽然全部设计完成，但篇幅有限，只选出几个特别的）




图 15 : type 10,11,9,15,8 折纸设计作品展示（软件模拟聚合）


图 16 : 笔者悠然用三年时间设计完全部单五密铺 15 类折纸作品

人做一件事，总要有他的目的和动机。或者基于兴趣，像 Marjorie Rice 一样；或者像笔者悠然一样，基于探索折纸/数学领域的边界。无关乎学历，无关于资历，如果我们对既定的世界能以新生儿的视角来观察，再辅以一定的学习和思考，可能就会突破某些限制或规则，让世界因你而不同。共勉！

原创 傅薇 好玩的数学 2023-09-12 07:02 发表于江西