最难理解的数学证明——有限单群分类定理

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最难理解的数学证明——有限单群分类定理

作者：杜先伟

来源：MathSpark


有限简单群分类

如果你是一个对数学很有感觉的人，随着你学习的深入一定能够发现，分类问题始终是数学的一个核心问题，这里面的原因在于我们提到过的，数学始终是研究结构的学问，通过对特定数学对象或结构进行分类，我们可以更深入地理解这些对象的基本性质和特征。一个具体的例子就是解二次方程的问题，最早可以追溯到古巴比伦时期，一个并不是那么容易看出的事实就是，当我们分类所有可能的二次方程解时，我们实际上已经理解了这类方程的结构。



但并不是所有的分类问题都像二次方程解的结构分类那样简单，我们今天所介绍有限单群分类问题，可以说是数学史上最长的证明之一，涉及许多数学家多年的工作，据我所知到目前为止这些证明已经跨越了 10000 多页，它是许多深入结果的合并，极少有人能够详细地理解并解释它。

有限单群分类证明的历史简介：

定理的证明，大约在 1985 年左右，可以称为第一代。但是第一代证明的长度极长，人们投入了很多精力来寻找一种更简单的证明，称为第二代分类证明。这项被称为“修正主义”的努力最初是由数学家丹尼尔·戈伦斯坦开始。

截至 2019 年，已经出版了八卷第二代证明。2012 年，完成证明估计还需要另外 5 卷，但进展缓慢。据估计，新的校样最终将填满大约 10000 页左右。（这个长度部分还是源于第二代证明以更轻松的风格编写。

我想到这里你一定想看看这个定理是在说什么，与它冗长繁琐的证明不同，它要表达的内容却是出乎意料的清晰。不过理解起来需要一点门槛，这个我们待会在说，我们还是一睹有限单群分类具体的内容，感受一下它到底有多骚包。

有限单群分类的具体内容：

所有的有限单群都可以分类为以下几类：

1. 循环群：这些是只有素数阶的群，例如阶为 2、3、5、7 等的群。

2. 交错群（交替群）：记作 An 的群，其中 n≥5 。这些群由偶排列组成，也就是由换位运算的偶数次组合得到的排列。

3. Lie 型群：这是一类非常大和复杂的群，来源于 Lie 代数和代数几何。它们包括：

● Chevalley 群：例如特殊线性群 SL(n,q) 、酉群 SU(n,q) 、正交群和其他。

● Steinberg 群（有时被看作是 Chevalley 群的特定版本）。

● 其他与上述相关的群。

4. 孤立的有限单群：这些是不属于上述三类的特殊群。它们是特例，总共有 26 个。最大的一个被称为 Monster（巨兽群），其它的还有如 Titan 群、Happy Family 群等。这 26 个孤立的有限单群没有简单的分类方式，但它们已经被完全确定并被独立地确认。

内容比起证明来，属实是简洁了许多，但是要理解起来并不是那么容易，我们这里只能介绍群和单群的定义，具体地来说：群是一个代数结构，由一个集合和一个二元操作组成，满足某些性质，例如结合律、单位元存在、每个元素都有逆元等。一个群如果没有非平凡的正规子群，那么它被称为单群，这里我建议你找一本严格的抽象代数的书籍来看一看。

证明的篇幅注定了它很难被个人所理解，有限群作为代数结构的一部分，人们已经研究了几个世纪。分类定理为这一长期的研究提供了一个终结，确认了所有可能的有限单群形式。不仅如此，为了完成为了完成此定理的证明，数学家引入和发展了许多新的数学技术和工具。这些技术不仅用于证明分类定理，还被用于其他数学问题。

如果要举例子，比方说，局部分析（研究群的子群和子群之间关系的一种技术），特别是那些与群的某个素数阶有关的子群。局部分析在证明过程中扮演了关键角色。还有伴随表示的方法：这涉及到群的线性表示，特别是在有限域上的表示。伴随表示的方法被用来研究群的结构和性质，这在证明过程中是非常关键。以及同调和上同调群的理论，被用来研究群的某些结构性质。

而且定理的证明涉及数千页的论文和多个数学家的工作，这也引发了关于数学证明的复杂性、可靠性和未来的一些哲学和实践问题。虽然有限群已经被完全分类，但与之相关的许多问题仍然存在。例如，给定一个有限群，快速确定它是否是单群，或者确定它的结构，仍然是一个开放的计算问题。

原创 杜先伟 MathSpark 2023-09-11 08:00 发表于陕西