最小作用量原理的发现和逐步推广谱写了科学史的华美篇章。古代科学家,如公元前 2 世纪的埃及人希罗(Hero)就猜想光的传播遵从最短时间法则,并由此论证了光在球面镜中反射时,入射角等于反射角。最小作用量原理的第一个成功范例是 1650 年法国数学家费马对光的传播原理作的概括性叙述:从空间一点 A 到另一点 B ,光沿着所需时间为最小值的路径传播。但光在不同介质中的折射角度究竟是否对应最短时间的路径,还要结合折射定律以及光在介质中的传播速度公式进一步计算。折射定律早在 1620 年就由斯涅耳在实验的基础上得出。1690 年,惠更斯基于他的光的波动理论,给出介质折射率之比等于光在这两种介质中的速度之比,从而证明了费马时间最小原理和光折射中的斯涅耳折射定律一致。费马原理作为最小作用量原理早期最成功的例子,它那简洁、优美的形式和对光现象的高度概括意味着可能存在某种更普遍的原理。
欧拉—拉格朗日方程是最小作用量原理的数学表述形式之一。它的基本思想是:在给定的边界条件下,使作用量 S 达到极小值的轨迹就是物体的实际运动轨迹。根据最小作用量原理,力学系统的性质都由其拉格朗日量确定,要找到作用量的表达式只需确定拉格朗日量即可,但是拉格朗日量是如何确定的呢?在诺特定理发现之前,物理学家们在寻找作用量时需要经过各种尝试。如果这样,最小作用量原理很难成为应用广泛的物理学研究方法。幸运的是,数学家诺特把该原理和对称性结合,推导出诺特定理:作用量的每一种连续对称性都有一个守恒量与之对应,给出了物理学的又一基石——对称性和守恒律的关系。通过对称性、守恒量和作用量三者之间的关系,可以互相推导,进而获得作用量的表达式。