|
|
本帖最后由 cuikun-186 于 2023-1-27 12:13 编辑
哥猜数r2(N)下限值函数是增函数
崔坤
中国青岛即墨，E-mail:cwkzq@126.com
摘要:
建立共轭互逆的等差数列A和B，根据埃氏筛法运用Pr集合里的每个独立元素分别按序对A和B数列双筛，
得到真值公式r2(N)＝（N／2）∏mr，然后对其下限值估计，根据素数定理最终得到：
r2(N)＝（N／2）∏mr≥[N/(lnN)^2],偶数N≥6
关键词：
共轭互逆等差数列，埃氏筛法，素数定理，表法数r2(N)，素数，真实剩余比
中图分类号：O156 文献标识码：A
证明：
对于共轭互逆数列A、B:
A:｛1,3,5,7,9,……,（N-1）｝
B:｛（N-1）,……,9,7,5,3,1｝
显然N=A+B，偶数N≥6
根据埃氏筛法获得奇素数集合{Pr}：
｛1，3，5，…，Pr｝,Pr<√N
为了获得偶数N的(1+1)表法数r2(N)，按照双筛法进行分步操作：
第1步：将互逆数列用3双筛后得到真实剩余比m1
第2步：将余下的互逆数列再用5双筛后得到真实剩余比m2
第3步：将余下的互逆数列再用7双筛后得到真实剩余比m3
…
依次类推到：
第r步：将余下的互逆数列再用Pr双筛后得到真实剩余比mr
这样就完成了对偶数N的求双筛法（1+1）表法数r2(N)，
由于运用Pr集合中的每个元素进行的筛选是独立事件，
则根据乘法原理有：
r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr;
即r2(N)=(N/2)∏mr
例如：70，[√70]=8，{Pr}={1,3,5,7},
3|/70，首先这35个奇数用3双筛后得到剩余13个奇数，
则其真实剩余比：m1=13/35
5|70,；剩余的13个奇数再用5双筛剩余10个奇数，
则其真实剩余比：m2=10/13
7|70, ;剩余的10个奇数再用7双筛剩余10个奇数，
则其真实剩余比：m3=10/10
根据真值公式得：r2(70)=(70/2)*m1*m2*m3=35*13/35*10/13*10/10=10
r2(70)=10
公式r2(N)=(N/2)∏mr是从微观上给出了偶数的1+1表法数r2(N)的。
那么从宏观上我们分析r2(N)=(N/2)∏mr的下限值：
双筛法本质上：
第一步:先对A数列筛选，根据素数定理，
A中至少有[N/lnN]≥1个奇素数，即获得素数的比例至少是1/lnN;
第二步:再对B数列进行筛选，根据素数定理,
B中也至少有[N/lnN]≥1个奇素数，即获得素数的比例至少是1/lnN；
那么要获得共轭数列AB中的素数对的比例至少是：（1/lnN）*（1/lnN）
则由此推得共轭数列AB中至少有:
r2(N)=(N/2)∏mr≥[N*（1/lnN）*（1/lnN）]=[N/(lnN)^2]
即：r2(N)=(N/2)∏mr≥[N/(lnN)^2]，
设r2(N)的下限值函数是f(N)=N/(lnN)^2
证明：对于函数f(x)=x/(lnx)^2，则：
f'(x)
=[x/(lnx)^2]'
=[（lnx)^2-x*2（lnx）*(1/x)]/(lnx)^4
=[(lnx)^2-2lnx]/(lnx)^4
=(lnx-2)/(lnx)^3
即f'(x)=(lnx-2)/(lnx)^3
当x≥8时，lnx>0,
lnx-2≥ln8-2
≥2.0794415417-2>0
也就是此时：f'(x)>0
即对于函数f(x)是严格单调增大
结论：哥猜表法数r2(N)下限值函数是增函数
参考文献：王元，《谈谈素数》，哈尔滨工业大学出版社，2011-3 |
|
IP卡
狗仔卡
发表于 2023-1-27 09:06
提升卡
置顶卡
沉默卡
喧嚣卡
变色卡
显身卡
楼主