【答】a^2+b^2=c^2+d^2=k（k 是已知常数），求 W=(1-a^2)(1-c^2)+(1-b^2)(1-d^2)..

dodonaomikiki

  \(        a^2+b^2=c^2+d^2=一常数k                    \)

  \(        W=(1-a^2)(1-c^2)+(1-b^2)(1-d^2)        \)

问题：

求  \(        W        \)的最大值

dodonaomikiki

忽然想到，如果想迎接生动化带来的冲击波，
是否可以先设k=7，
因为毕竟7，也算得上是小*数里比较普适化的一个数其他数，广而推之，大而化之即可！



以上，是我的肆意妄想

Future_maths

\(设a=\sqrt{k}\cos\alpha{,}\ b=\sqrt{k}\sin\alpha{,}\ c=\sqrt{k}\cos\beta{,}\ d=\sqrt{k}\sin\beta\)

dodonaomikiki

紧接着Future老师的思路

\(     Set：  K=1   \)
\(        (1-a^2)(1-c^2)+(1-b^2)(1-d^2)        \)
\(     =       sin^2\alpha  sin^2\beta  +cos ^2 \alpha^2 cos\beta       \)
\(     =       sin^2\alpha  sin^2\beta  +  (1-  sin^2\alpha)(1-  sin^2\beta)       \)
\(     =1 - sin^2\alpha-  sin^2\beta   +2   sin^2\alpha  sin^2\beta  \)

luyuanhong

波斯猫猫

题：已知a^2+b^2=c^2+d^2=k（常数k≥0），求 W=(1-a^2)(1-c^2)+(1-b^2)(1-d^2) 的最大值。

思路：考虑k＞0，因a^2+b^2=c^2+d^2=k，故a，b，c，d不全为0。

显然，0≤a^2d^2+b^2c^2，当且仅当a=c=0，或b=d=0时等号成立，

所以，a^2c^2+b^2d^2≤a^2d^2+b^2c^2+a^2c^2+b^2d^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=k^2。

故，W=(1-a^2)(1-c^2)+(1-b^2)(1-d^2)=a^2c^2+b^2d^2-2k+2≤k^2-2k+2，

即W≤k^2-2k+2，当且仅当a=c=0，或b=d=0时等号成立。

特别地，当k=0，即a=b=c=d=0时，显然W≡2。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答也不错，已收藏。

dodonaomikiki

波斯猫老师作品，
LA化一下


题：已知\(a^2+b^2=c^2+d^2=k（常数k≥0），求 W=(1-a^2)(1-c^2)+(1-b^2)(1-d^2) \)的最大值。

思路：考虑\(k＞0，因a^2+b^2=c^2+d^2=k，故a，b，c，d\)不全为0。

显然，\(0≤a^2d^2+b^2c^2，当且仅当a=0,c=0，或b=0,d=0\)时等号成立，

所以，\(a^2c^2+b^2d^2≤a^2d^2+b^2c^2+a^2c^2+b^2d^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=k^2\)

故，\(W=(1-a^2)(1-c^2)+(1-b^2)(1-d^2)=a^2c^2+b^2d^2-2k+2≤k^2-2k+2\)
即\(W≤k^2-2k+2，当且仅当a=0,c=0，或b=0,d=0\)时等号成立。

特别地，当\(k=0，即a=b=c=d=0\)时，显然W≡2。