折纸让《不可能的几何挑战》变成可能——正九边形及任意整数角度的精确折法

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折纸让《不可能的几何挑战》变成可能——正九边形及任意整数角度的精确折法

作者 : 傅薇

摘要: 本文将详细讲述并证明两种正方形内正九边形的精确折法（一种为“一刀剪”最大精确正九边形折法）、正七边形折法（近似）、圆周内任意整数角度折法，并将介绍相关的尺规作图、折纸公理、三等分角、折纸等分软件、正九边形相关折纸作品及折纸公理在折纸等分中的应用等。

关键词：尺规作图、正七边形、正九边形、七等分角、40度折法、折纸、古希腊三大几何难题、三等分角、折纸公理、一刀剪、三边相等等腰梯形

一、引言

去年岁尾的某天（2021.12.20），收到知名折纸艺术家 Ilan Garibi 的来信，大意是某位外国折友要设计折纸，需要用到正九边形的折法，搜全网，只搜到了我的方法，于是在国际折纸设计者联盟中寻问是否还有步骤更少的方法。虽然我也在联盟中，但很少刻意去关注动态。于是 Ilan Garibi（他也是该联盟的创始人）转发告之。我看了一下自己的正九边形折法，因为已经是 2018 年画的图，忘记了当时的思路，照做一遍，发现略有误差。于是重新思考，作出了精确的正方形内折正九边形的方法。下面会详细讲述一下做法、证明以及相关的内容。


图 1-1 : Ilan Garibi 的来信及笔者 2018 年想出的正方形内正九边形折法.

1.1 尺规作图 & 古希腊三大几何难题

《不可能的几何挑战：数学求索两千年》一书中重点讲述了人们从古至今两千年来关于几何四大“古典问题”——化圆为方、倍立方、三等分角和作正多边形，孜孜以求不断探索的过程，从而激发起读者对数学的的兴趣与思考。其中，前三个问题又被称为“古希腊三大几何问题”。本文主要讨论“三等分角”及“作正多边形”这两个问题。


图 1-2 : 《不可能的几何挑战》及古希腊三大几何问题.

尺规作图起源于古希腊的数学课题，欧几里得的《几何原本》将其规范 ，借助《几何原本》的巨大影响，一直流传至今，并对现代数学的发展起了很大的推动作用，特别是对近代的方程论、群论等数学分支。

尺规作图可以完成五种操作：

a）过给定两点作直线；

b）在给定点以给定半径作圆；

c）确定直线与直线的交点；

d）确定直线与圆的交点；

e）确定圆与圆 的交点。

另外，尺规作图还可以完成加、减、乘、除、开平方根五种操作。


图 1-3 : 欧几里得与《几何原本》.

“三等分角”具体描述为：只用圆规与一把没有刻度的直尺，将任意给定角三等分。这个问题看似简单，却隔了两千年，到十九世纪才证明无解。

尺规作图不能完成“三等分角”关键在于“三等分角”需要解一元三次方程，而尺规作图无法完成解三次方程的操作。

尺规作图方法能否作出正多边形有个充要条件，即“数学王子”高斯提出来的定理：一个正 n 边形，当且仅当 n 为费马素数或为几个不同费马素数的乘积时，才能满足尺规作图。其中，费马数是以数学家费马命名一组自然数，形如 (2^2^n+1) 。下面举例说明：



可见，这前五个费马数都是费马素数，满足尺规作图的要求；这几个数的乘积也满足尺规作图的要求，如：15 边形（F0×F1=3×5=15）；51 边形（F0×F2=3×17=51）；85 边形（F1×F2=5×17=85）等。

总结一下，20 边形以内的多边形，可以尺规作图的包括：3，4，5，6，8，10，12，15，16，17，20 ；不能尺规作图的包括：7，9，11，13，14，18，19 ，其中 7，11，13，19 是素数，但不是费马素数；9 是两个相同的费马素数的乘积，定理中要求两个费马素数不同；14 是 7 的倍数，7 不行，所以 14 不行；同理，18 是 9 的倍数，9 不行，所以 18 不行。

1.2 折纸三等分角 & 折纸公理

折纸理论中包括七条折纸几何公理。前 6 条由数学家 humiaki huzita 在 1991 年的 First International Conference on Origami in Education and Therapy 上发表。公理 7 由 Koshiro Hatori 在 2001 年发现，与此同时 Robert J. Lang 也发现了公理 7 。Robert J. Lang 在 2003 年还证明了这 7 个公理包含了折纸中的所有操作（假定所有折纸操作均在理想的平面上进行，并且所有折痕都是直线），现在这 7 个公理统称为 Huzita-Hatori 公理。

其中，折纸公理 6 是欧氏几何没有的，它在折叠中巧妙借用了三维空间。欧氏几何是平面上利用尺规，折纸是不用任何工具就移动了“平面”。

公理 6（两点到两线）已知两点和两条相交线，可以将其中一点折到一条直线上且同时让另一点落在另一条直线上。

如下图，两个粉色点 A、B 可同时通过一次折叠，令 A 落到 L1 线，且 B 落在 L2 线上（蓝色的 L1 线与 L2 线相交），根据盛金公式解一元三次方程，可知最多情况有三组解（黄色解、绿色解、蓝色解）；三条红线是三组解时的对称轴。（公理 6 的证明可参看 2020 年《折纸实录》冬季版笔者的文章）


图 1-4 : 折纸公理 6 的图示（笔者绘制）.

那么，折纸公理 6 与折纸三等分角、作正多边形有什么关系呢？折纸三等分角方法恰巧是折纸公理 6 的应用。1980 年阿部恒发表了三等分任意锐角的方法。下面，分别给出折纸三等分锐角、钝角的方法和证明。折纸三等分角突破了尺规作图的限制，使正多边形有可能通过折纸方法作出来。


图 1-5 : 阿部恒的三等分锐角的折纸方法及笔者的证明.


图 1-6 : Jacques Justin的三等分钝角的折纸方法及笔者的证明.

二、正方形内正多边形折法

2.1 正方形同心正九边形折法及证明

2.1.1 折 40 度角

若将正九边形的中心周角进行九等分，则每个等分角度是 40° 。所以，在考虑折出正九边形前先考虑如何折出精确的 40° 角。下面列举几种方法：


图 2-1 : 根据锐角、钝角三等分法推导出两种折 40° 角的方法.

上图中，第一张图锐角三等分法得 40° 角是将 60° 三等分，取两份，即：60°/3=20° ，20°×2=40° ；第二张图钝角三等分法得 40° 角是将 120° 角三等分，取一份，即：120°/3=40° 。下面，再介绍一种方法，是先在 90°中取出 15° ，对剩下的 75° 进行三等分，取一份与之前 15° 合而为 40° , 即：15°+(90°-15°)/3=15°+25°=40° ；。


图 2-2 : 第三种折 40° 角的方法.

2.1.2 折正方形同心正九边形

已知 40° 角折法，即九等分周角法；如果又知道中心位置，则正九边形可折。对应上面两种 40° 角折法，下面列举两种折同心正九边形的方法：


图 2-3 : 第一种折正方形同心正九边形的方法.

下图中（1）的第一个图是总体概括。


图 2-4 : 第二种折正方形同心正九边形的方法.

2.2 三边相等的等腰梯形与圆内接正多边形

观察下图，图中的八个正多边形都是正方形能内接的最大正多边形，边数都是奇数，令正方形和内接正多边形的尖角朝上。我们发现，正方形内接正 n 边形（n≥5）内都可以画出一个等腰梯形。进而，因为正多边形各边相等、性质相同，我们发现正多边形内接的等腰梯形实则是一个三边相等的等腰梯形，或是上底=两腰（如正七边形），亦或是下底=两腰（如正五边形）。接下来，我们先探讨一下三边相等的等腰梯形的性质。


图 2-5 : 正 n 边形（n≥5）都可内接一个三边相等的等腰梯形.

2.2.1 三边相等的等腰梯形

三边相等（上底=两腰）的等腰梯形平分底角；

三边相等（下底=两腰）的等腰梯形平分顶角。




图 2-6 : 三边相等（上底＝两腰）的等腰梯形平分底角，反这亦然.

2.3   正方形内最大正九边形折法及证明

2.3.1 正方形内最大正九边形折法


图 2-7 : 正方形内接最大正九边形图形、角度分析.

因为前面已经讨论过 40° 角的折法，则 20° 角可相应得到。利用 20° 和正多边形内的等腰梯形，我们可以找到正九边形的折法。


图 2-8 : 正方形内接最大正九边形折法.

也许有人会奇怪，上图中也没有等腰梯形。实则关系隐藏在其中。


图 2-9 : 最大正多边形（n≥5）折法与内接等腰梯形的关系.

2.3.2 正方形内最大正五边形折法


图 2-10 : 正方形内接最大正五边形折法.


图 2-11 : 正方形内接最大正五边形折法.

上图到第二步翻折起的 MC 与上边成的角度即为精确的 36 度。

2.3.3 正方形内最大正七边形折法


图 2-12 : 正方形内接最大正七边形折法思路.




图 2-13 : 七等分角方法.


图 2-14 : 正方形内接最大正七边形折法.

正七边形的七等分角略有误差，因为 π/7 不能整除，只能姑且如此了。

2.3.4 任意整数角折法

根据前文提供的正多边形折法（等同于 n 等分角），可列出下表：



如果想要折出 1° 角，应该有多种方法，比如：



能折出 1° 角，则其他整数角可通过四则运算找到对应方法。这种折纸方法从原理上讲是精确的；只用纸和手，不需要任何工具，还是很神奇的！

2.3.5 “一刀剪”正多边形折法

a. “一刀剪”五角星


图 2-15 : “一刀剪”五角星折法.

b. “一刀剪”正方形内最大正九边形


图 2-16 : 正方形内最大正九边形折法思路.



三、扩展应用

3.1  折纸公理与折纸等分

折纸公理 6 的两点到两线，不只解决了三等分角的问题，也解决了无法用尺规作图作正七边形、正九边形的问题，还可以折出任意整数角度。然而，它给人的惊喜不只如此。它还可以用于折纸等分取点，这是折纸中非常重要的一环。

下图所示图解是日本折纸艺术家加藤（Shuki Kato）的加藤象，需将正方形纸的边长分成 17 等分，这里就用到了两点到两线，非常简单方便。


图 3-1 : 加藤象折纸图解的等分取点用到了折纸公理 6 .


图 3-2 : 加藤象折纸图解的等分取点证明.

事实上，前面提到的总结折纸七条公理的 Robert J. Lang 将七条公理加入到他与别人合作开发的折纸取点软件中，大大提高了折纸取点的效率。他还就这个专题写过论文，感兴趣的读者可以找来阅读。


图 3-3 : Robert J. Lang 写过关于 reference 的论文.


图 3-4 : 笔者与 Robert J. Lang 探讨过 reference 的相关问题.

3.2   正多边形折纸


图 3-5 : 多边形相关折纸.

四、总结

数学博大精深、学无止境，寻求优雅、合理的专题结果是很多人的向往和追求。数学无处不在，当数学引入折纸，新的交叉学科形成了；折纸又反作用于数学，帮助数学解决了不能完成的任务。折纸是一门优雅的艺术，既体现了数学的合理性，又体现了折纸设计者的聪明才智。学海无涯，还有更多的挑战等着我们去完成，加油！

References

《不可能的几何挑战――数学求索两千年》大卫·S.里奇森蓍；北京，人民邮电出版社，2022.1；
https://www.renrendoc.com/paper/164700572.html

几何三大问题为尺规作图不能问题的证明
https://mp.weixin.qq.com/s/w39NfaFyxEwyQCG1FgVtFA

尺规作图与古希腊三大作图问题
https://mp.weixin.qq.com/s/lbyw-LN61mBnyZimbBqLjQ

正多边形的尺规作图：未完的故事
https://mp.weixin.qq.com/s/5EV556BZj50dgtqxyBh4_w

他们用折纸解决了两个数学难题，还折出了天文望远镜！！
https://www.zhihu.com/question/30898572/answer/104859089

为什么尺规不能三等分一个任意角？
https://www.bilibili.com/video/a ... 69fdd22748b6a438e91

正多边形 尺规作图合集 不看后悔！
https://zhuanlan.zhihu.com/p/309 ... amp;ivk_sa=1024320u

尺规作图，正三边形到正十七边形（知乎）
https://www.sohu.com/a/370849544_614593

费马数与正多边形的尺规作图（公众号：数学教学研究）
《折纸与数学》黄燕苹，李秉彝著；北京，科学出版社，2012.7；
https://zhuanlan.zhihu.com/p/240802683

用折纸解三次方程(Lill 方法)
https://finder.origami.tools/

https://www.folders.jp/reference/reference.html

https://mp.weixin.qq.com/s/c-1F1KvGDakPddkKLUAmyw

https://v.qq.com/x/page/p0166e6gs7q.html