数学在折纸设计中的应用——单五密铺 type 14 的精确绘图及折纸设计

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数学在折纸设计中的应用——单五密铺  type 14  的精确绘图及折纸设计

作者 : 傅薇

摘要：有什么作品是可以将数学、铺砌艺术、文化图饰、折纸设计联系起来的吗？有，设计密铺类型的镶嵌折纸。本文将阐述 15 种单一凸五边形密铺中 type 14 的折纸设计过程及期间借助强大辅助工具——数学的种种应用。

一、密铺/镶嵌介绍

折纸与数学，密铺与镶嵌，不同的概念，却有着紧密的联系。有人可能会说，密铺/铺砌（tiling）与镶嵌(tessellation)，在数学里是统一的概念（后文会介绍不同之处），都是指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。镶嵌最早可以追朔到大约公元前 4000 年由苏美尔人用于建造装饰墙，后来逐渐被人们用于铺砌地砖等，其中比较知名的有开罗镶嵌（Cairo tiling）、Marjorie Rice 设计被用于铺设美国数学学会（MAA）华盛顿总部大厅地板的 versatile 图案，以及 2020 年诺贝尔物理学奖得主罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）设计的彭罗斯镶嵌（Penrose tiling）。前两种分属于单一凸五边形密铺中的 type 4 和 type 5 ，归属于周期密铺；而第三种彭罗斯镶嵌属于非周期密铺。如图所示：


图 1.1: Cairo tiling, Marjorie Rice's versatile and Penrose tiling.

数学家们善于从现实世界抽象、提炼他们感兴趣的内容，进行研究，进而形成完整的理论，从而这些理论又对这些内容的发展和应用起到了促进作用。密铺/镶嵌就是这些内容之一，形成的理论包括：

1. 平面密铺/镶嵌的分类


表 1: 密铺/镶嵌分类（笔者根据万维百科制表）


图 1.2: 正则（三种）与半正则镶嵌（八种）（中间两图相同）.

2. 17 种墙纸群/平面对称群




图 1.3: 约翰·康威（John Conway）书中介绍的 17 种平面对称群.


图 1.4: 彩图版 17 种平面对称群.

3. 多边形单密铺问题

a. 任意三角形、任意凸四边形（如：正方形、长方形）、正六边形都可以密铺整个平面，且不规则六边形只有三种可以密铺整个平面。

b. 任何边数 n≥7 的凸多边形都没有单密铺方式。

c. 从 1918 年到 2015 年，数学家发现了不规则五边形的单密铺方式只有十五种。


图 1.5: 中文维基上的五边形镶嵌介绍.


图 1.6: 15 种单一凸五边形镶嵌平面单元介绍.

二、绘制精确图示

2.1 type 14 介绍及图示分析

1985 年，Rolf Stein 发现了 type 14 ，这是 21 世纪前单五密铺的最后一次新发现，被刊登作为当年《数学杂志》的封面，在 MAA 出版的书中也有相关介绍。


图 2.1: THE HARMONY OF THE  WORLD 和 MATHEMATICS MAGZINE 两本书/杂志上有 type 14  相关介绍.

笔者在网上搜索到的 type 14 介绍包含四个公式，有些还给出了具体的角度（近似），但没给出推导方法，于是笔者尝试从头开始分析、推导。并在原来基础上给出了其他必要的角度关系（右图）。


图 2.2:  type 14 单元介绍及笔者推导出的角度关系.

2.2 数学计算求精确解

（为节省空间，笔者将计算过程用图片形式展示：）


图 2.3: 根据 type 14 的四个公式计算出其单元的各角度.

经过前面的计算，得出了与资料一致的近似角度。但对于折纸来说，近似角度是不行的，想要进行折纸设计，必须在折纸软件里画出精确图示,否则边不重叠、点不重合。




图 2.4: 求 type 14 单元角度的两道异曲同工题（笔者出题）。

下面给出两题中第一题的解答，根据解出的边长、角度关系即可画出 type 14 的单元图示。


图 2.5: 求 type 14 单元角度的另解.


图 2.6: 根据题解在折纸软件中绘图，角度匹配.

根据计算结果，可以在折纸软件中画出需要的角度（小数点后的数字无限匹配）。下面介绍一下长度的绘制方法（笔者采用第三种方法）。


图 2.7: 绘制长度的三种方式（函数曲线、海螺图、勾股三角形）.

笔者除了前文提到的用来算 type 14 角度的几道题是自行出题外，还根据 type 14 的有限条件出过不少题，感兴趣的小伙伴可以一试（如下题）。出题是思路的整理过程，解题是思维的训练过程，一题多解是解题的升级训练，它们都是折纸设计之外的收获。


图 2.8: 根据 type 14 的已知条件自行出题（额外练习）。

2.3 画出精确图示

至此，折纸设计的第一步工序完成，可画出 type 14 密铺的精确图示。根据着色、分组的不同，呈现出不同的埃舍尔镶嵌画效果。




图 2.9: 两幅 type 14 密铺图示（埃舍尔效果）.

三、镶嵌折纸设计

3.1 镶嵌折纸的概念

前文提到在数学里 tiling 和 tessellation 是表示相同内涵的统一概念。但在折纸里却不同。


图 3.1: 《镶嵌折纸》书中关于“镶嵌”及“镶嵌折纸”概念的介绍.

镶嵌折纸是通过对于一张纸进行折叠、扭转令其折痕形成重复性的可简可繁、可平面可立体的几何图案的一种几何设计，起源于伊斯兰艺术。镶嵌折纸重点在于一纸，英文用 origami tessellation 表示。建筑是对大自然建造活动的延续，而镶嵌折纸又是对建筑图案艺术的纸上延续（从《镶嵌折纸》的书封可窥豹一斑）。

3.2 不同分组方式

数学中可将平面图案归纳为 17 种对称群，折纸设计中也需要考虑类似的对称问题。如何分组才更易于折纸设计。笔者对于这个 type 14 尝试了很多种分组方法。分组之后再考虑设计每个分组单元，轮番尝试后取最优解。


图 3.2: 为折纸设计笔者尝试绘制 type 14 不同的分组方式.

3.3 基元（lattice）设计、组合尝试

下面的分组设计对应不同的结构基元（lattice）：


图 3.3: type 14 单元折纸设计.

而相同的结构基元在数学中是一种画法，在折纸中可能存在不同的设计方法，如下图。权衡每种基元是否可组合作为筛选条件再进入下一环节。


图 3.4: 尝试 type 14 相同基元的不同折纸设计.

最后，选择出一种能够进行组间匹配的适合的基元折纸设计方法：


图 3.5: 筛选出一种适合的 type 14 基元折纸设计方案.

设计的折纸基元展开后各单元块的位置（松散结构）与 type 14 图示中（紧凑结构）的角度、边长关系应保持一致，通过下面两图可以对比、了解一下。


图 3.6: type 14 图示（折纸成品预呈现的紧凑结构）.


图 3.7: type 14 图示（折纸设计的松散结构）.

3.4 整体设计、画图、折制

经过不同的尝试后，需要综合考量，确定最后的方案。在电脑的折纸软件中绘制设计好的折纸 CP 图（crease pattern）。绘制无误后，软件会按照图纸自动生成/模拟折叠后的纸张状态（压平状态），呈现出所设计的图案，包括纸张前面（front）、背面（back）和背光（backlit）。

这个作品也可以折制成立体（不压平）状态，无论压平或不压平，它都是我目前十五种单五密铺设计中最简洁的折纸设计手法（有人称之为 freeform ）。通常镶嵌折纸的成品率（成品图案的纸张有效占比）为 40-50% ，这种设计成品率极高、设计手法灵活，也是我十年镶嵌折纸中设计成品率最高的一次。


图 3.8: 一纸设计 type 14 的软件模拟（平面/压平）及立体折纸作品.

折纸设计的精髓可能就是寻找一种适合的单元对称方式，让分布在纸张上的单元块能边对边、点对点地结合，将单元之间的过渡纸层折叠/隐藏起来，最终形成设计好的图案。有些图案有一定之规，如标准的正多边形或一些已有既定模型的图案；然而对于这种单一凸五边形密铺形式的折纸设计，没有锚点，没有定式，灵活多变，无从下手是常态，最后完成只能说是天作巧合。这类设计也许学过群论、组合学、几何学、对称等相关知识后，能驾轻就熟吧。

四、总结

4.1 个人成长

折纸设计之路，犹如高空踩钢丝，险象环生，又风景这边独好，令人悲喜交加。每一次新的尝试，都是对未知的挑战，不只需要勇气，还要有一无所获的心理准备和可能一败涂地的结果预判。

当然，它还培养了个人独立思考的能力、发现/解决问题的能力、韧性和耐力，以及突破茧房、扩展思维的能力。折纸设计这片蓝海，令人痴迷、流连忘返。

4.2 国际现状

4.2.1 国外研究

去年（2021 年）国外的纪念马丁·加德纳线上报告中，有两位报告人讲述了密铺/镶嵌的相关内容。一位女报告人 Rachel Quinlan 讲述了利用一张镶嵌折纸的图案变化（手动改变局部花纹）来展现不同的对称群。另一位男报告人 Glen Whitney 讲述了如何寻找单五密铺中密铺单元的整数边长。


图 4.1: Rachel Quinlan的密铺群镶嵌折纸报告及笔者仿折她的镶嵌折纸作品.


图 4.2: 笔者复刻/破解了 Rachel Quinlan 报告中的十个折纸作品（第 1，2 小图的背光图中透光部分朝向不同）.


图 4.3: Glen Whitney 的整数边凸五边形密铺报告及五边形模型展示

笔者在单五密铺折纸设计中也碰到过密铺单元的整数边问题，但折纸中不要求所有边长都是整数，因为如果是直角三角形，满足直角边是整数，斜边也自然在纸张预打线的的格点上（比如：正方形、正六边形或其他），同样满足折纸徒手打线的要求。从这点看，我们要求整数边的侧重点不同。

4.2.2 本人研究

下图中的对勾部分是笔者这两年来已设计完成的单五密铺的镶嵌折纸项目（每个均为一纸作品）。其中左上角数字表示维基百科上每种类别（type n）因其对称方式（即前文提到的墙纸群/平面对称群）不同（如：P2（2222）、pgg（22*）、cmm（2*22）等）又有所区分的种类数。比如，type 1 有 7 种分类，则折纸作品也要设计 7 个，全部完成至少 27 个作品。


图 4.4: 笔者完成的十五种单五密铺中的几个折纸设计(type 10 完成 1 种)。

根据前文，相信读者对于不规则多边形密铺图形的镶嵌折纸设计有了一定了解，那么对于某一确定图案来说是否只有一种折纸设计可能？答案是否定的。以上图中 type 5（根据对称方式包括两类，笔者称之为普通型和标准型）为例，笔者找到了中外折纸设计者共十二种（普通型 5 种 + 标准型 7 种）设计方法。数学题可以一题多解，折纸设计也可以，是更深层次的思维训练和实践体验。




图 4.5: 中外设计者完成的 type 5 折纸设计（两种类型共 12 个作品）。

4.3 交叉前行

客观世界通过数学描述上升到理论层面——实践出真知；反之，有意义的数学成果和内涵又在现实世界得到了应用和发展——理论指导实践。密铺从现实铺地砖，到数学，再到艺术、科研、折纸等等，引发了一系列的连锁反映、蝴蝶效应。世界很大，等待我们不断探索；精彩未来，等待我们不断创造。朋友，让我们一起来感悟、领悟、觉悟其中的神奇之处吧。

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从镶嵌折纸到建筑艺术
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永不重复的花纹，不可能存在的图案？
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【orihime技巧汇总-哔哩哔哩】
https://b23.tv/py9pcJM
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