四阶幻方的“太极图”性质

luyuanhong

四阶幻方的“太极图”性质

原创 梁海声 好玩的数学 2022-07-23 07:00 发表于江西

【摘要】以“太极图”双胞胎四四方阵，以及“双胞胎”幻方来分半剖析四阶幻方，由 16 个数字简约到一半的 8 个数字分析四阶幻方，因为减少了一半的符号干扰，更便于分析思维，便于理解四阶幻方的本质。

对于任意的原始四阶幻方 Y 。


表 1

定义操作一 C1 : 四阶幻方 Y 里各个元素，作偶数除以二，奇数加一除以二，得到四四方阵，使得各个方阵元素的数字 1 到 8 都有“孪生”的一对。称为 L 氏双胞胎矩阵。

定义操作二 C2 : 四阶幻方 Y 里各个元素，比八大的减去八，得到四四方阵，使得各个方阵元素的数字 1 到 8 都有“孪生”的一对的双胞胎矩阵。


表 2

性质一 X1 : 幻方 Y 经过操作一或者操作二之后，一定存在全部按行排列的，每行里，各自存在，余九的 8 与 1 ，7 与 2 ，6 与 3 ，4 与 5 ，一共四对。因为孪生，所以（余九）每对按行排列出现两次。（或者是不按行，按列排列。）

性质二：双胞胎矩阵里，（余九）每对按行排列出现两次，但两次不可能出现在同一行里。（或按列排列。）

操作三 C3 : 如果性质二中一行里的（余九）一对数字标记为单引号，则不得标记另一对不同的（余九）一对（不在同一行（列）里）为单引号。标记四对八个数字完成后，不同行里的同一对，必需区分为有单引号的（两个余九数字）与非单引号原来的。定义单引号数字为“母”，这样经过操作二后得到的带引号数字的矩阵就成了阴阳方阵，称为孪生四阶矩阵，每个数字都有孪生“公母”的一对。


表 3

性质三：操作三后，孪生四阶矩阵里，相应操作的按行排列，每行单引号只能出现，也仅能出现两次，不得出现一次或者两次以上。这样每行就有且只能有两个单引号。（或按列排列）。所以，无单引号的原生数字也是每行（列）有两个。


表 4

置换一：将孪生四阶矩阵里单引号的数字加八得到小于等于十六的结果后置换回原位置。

请参考表 4 。

置换一后的以上四阶拉丁方阵 L4 除了两对角线 9-6-10-1 ，16-3-15-8 以外都符合四阶幻方的各行，各列数字之和等于 34 的性质。例如表 5 。


表 5

定理一：置换一后得到的新的四阶矩阵，经过基本位移，一定是幻方结构，且不同于原始幻方 Y 。

将以上 L4 后两列作调换到前两列的“基本位移”，得到 L4‘2 。


表 6

由于两个对角的和数 7-12-4-11 与 2-13-5-14 都是同样的“幻方和”34 ，所以是幻方结构。不同于原始幻方 Y 。

类似的，对于表 3，同样作置换一。


表 7

将以上拉丁方后两列作调换到前两列的“基本位移”，得到


表 8

表 8 也为幻方和等于 34 的四阶幻方结构，但是与表 6 又是不一样的。显然也不同于原始幻方 Y 。

定义 L 氏“双胞胎幻方”：存在一种仅由两组数字，每组数字为 1，2，3，4，5，6，7，8 所组成的“双胞胎”四四方阵，其每行四个数字之和，每列四个数字之和，两个对角的四个数字之和，分别等于同一个“幻方和”数字 18 。

性质四：双胞胎幻方”符合性质一，也能作操作三 C3 的为调和“双胞胎幻方”。

性质五：非调和“双胞胎幻方”只有唯一的一种。


表 9

以上，如表 9 ， L 氏“双胞胎幻方”定义成立。

定义操作一 C1 的反操作 R1 : “双胞胎”四四方阵里，对于同样的一对数字，作某一数字作乘二，另一数字乘二减一操作。得到四四拉丁方阵。

例如，对于以上 L 氏“双胞胎幻方”作操作 R1 ，我们得到


表 10

显然，反操作 R1 得到的这个四四拉丁方阵，符合每行每列两个对角的各自四个数字相加的幻方和34的定义，所以这个四四拉丁方阵是四阶幻方。如表 10 。

调和“双胞胎幻方”。


表 11

最后，留下两个问题给读者。

引理1: 如果四阶幻方 P 是所有（延长）对角线四个数字之和均等的完美幻方，那么 P 经过操作一或操作二，得到的“双胞胎矩阵，一定可以实行操作三，得到“孪生”四阶矩阵。

猜想1: “孪生”四阶完美矩阵 P 实行置换一，以及定理一的“基本位移”之后，得到的四阶幻方，也一定是完美幻方 P 。

* 感谢万树军先生提供了表 11 的调和“双胞胎幻方”。依此修改了原文的性质四与性质五。