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求完全数的一般公式和负完全

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发表于 2022-1-10 16:24 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 刘付来 于 2022-5-18 10:02 编辑

前言:几年心血终成篇,投了数刊皆要钱。低眉沉思寻写处,抬投望见贵论坛。

摘要:1.给出求完全数的一般公式;

2.特例1导出类欧拉公式,解读完全数6特殊的原因。

3.特例2求出几个负完全数。

4.奇完全数的猜想。

关键词:公式,负完全数,猜想。

1:求完全数的一般公式

若:\(p=p_1^{n_1}\times p_2^{n_2}\times\cdot\cdot\cdot\times p_k^{n_k}\times p_0\)

可以证明:\(p_0=\frac{\left( p_1^{n_1+1}-1\right)\left( p_2^{n_2+1}-1\right)\cdot\cdot\cdot\left( p_k^{n_k+1}-1\right)}{2\left( p_1^{n_1+1}-p_1^{n_1}\right)\left( p_2^{n_2+1}-p_2^{n_2}\right)\cdot\cdot\cdot\left( p_k^{n_k+1}-p_k^{n_k}\right)-\left( p_1^{n_1+1}-1\right)\left( p_2^{n_2+1}-1\right)\cdot\cdot\cdot\left( p_k^{n_k+1}-1\right)}\)(\(p_1,p_2,\cdot\cdot\cdot p_k\)为互不相等的素数,\(n_1,n_2,\cdot\cdot\cdot n_k\)为自然数.当:\(p_0\)为素数时,\(p\)是完全数.

2:特例1,\(k=1\)时,代入公式得:
\(p_0=\frac{p_1^{n_1+1}-1}{2\left( p_1^{n_1+1}-p_1^{n_1}\right)-\left( p_1^{n_1+1}-1\right)}=1+\frac{2p_1^{n_1}-2}{p_1^{n_1+1}-2p_1^{n_1}+1}\)右边的分式的分子、分母均大零,分母减分子得:
\(p_1^{n_1}\left( p_1-4\right)+3,p_1\ge4\),该分式为真分式,则:\(p_0\)无整数解。\(\therefore\)\(p_1\)取素数2和3.

(1),\(p_1=2\)时,代入上式得:\(p_0=1+\frac{2\times2^{n_1}-2}{2^{n_1+1}-2\times2^{n_1}+1}=1+2^{n_1+1}-2=2^{n_1+1}-1,\)

\,且\(2^{n_1+1}-1\)为素数时,\(2^{n_1}\left( 2^{n_1+1}-1\right)\)是完全数.这于欧拉公式类似。
(2),\(p_1=3\)代入上式得:\(p_0=1+\frac{2\times3^{n_1}-2}{3^{n_1+1}-2\times3^{n_1}+1}=3-\frac{4}{3^{n_1}+1}\)
\(n_1=1\)时,\(p_0=3-\frac{4}{3+1}=2\)这时\(p=3\times2=6\)是完全数.\(n_1>1\)时,\(p_0\)无整数解.
完全数6既可由(1)求得,又可由(2)求得,这就是完全数6特殊的原因.

3:特例2,\(k=2\)时,代入公式得:
\(p_0=\frac{\left( p_1^{n_1+1}-1\right)\left( p_2^{n_2+1}-1\right)}{2\left( p_1^{n_1+1}-p_1^{n_1}\right)\left( p_2^{n_2+1}-p_2^{n_2}\right)-\left( p_1^{n_1+1}-1\right)\left( p_2^{n_2+1}-1\right)}\)
可以证明,\(p_1\ge8、p_2>p_1\)时,\(p_0\)无整数解.
(1),\(p_1=2、p_2=3\)代入上式得:
\(p_0=\frac{\left( 2^{n_1+1}-1\right)\left( 3^{n_2+1}-1\right)}{2\left( 2^{n_1+1}-2^{n_1}\right)\left( 3^{n_2+1}-3^{n_2}\right)-\left( 2^{n_1+1}-1\right)\left( 3^{n_2+1}-1\right)}=-3-\frac{2\times2^{n_1+1}+2\times3_{ }^{n_2+1}-2}{2\times2^{n_1}3^{n_2}-2^{n_1+1}-3^{n_2+1}+1}\),可以证明,\(n_1\ge4、n_2\ge2\)时,\(p_0\)无整数解,\(n_1=1、n_2=1\)
\(p_0\)无意义.
(1.1)\(n_1=2、n_2=1\),代入上式得:
\(p_0=-3-\frac{2\times2^{2+1}+2\times3^{1+1}-2}{2\times2^2\times3^1-2^{2+1}-3^{1+1}-1}=-3-\frac{16+18-2}{24-8-9+1}=-3-4=-7\)是一个负素数
\(\therefore\)\(p=2^2\times3\times(-7)=-84\),是一个负完全数.
验证:-84所有的正负因数是,1,2,3,4,6,12和-84,-42,-28,-21,-14,-7,除-84外所有正负因数的和是:
1+2+3+4+6+12+(-42-28-21-14-7)=28-112=-84
(1.2)\(n_1=3、n_2=1\)代入上式得:
\(p_0=-3-\frac{2\times2^{3+1}+2\times3^{1+1}-2}{2\times2^3\times3-2^{3+1}-3^{1+1}+1}=-3-\frac{32+18-2}{48-16-9+1}=-3-2=-5\)是一个负素数
\(\therefore p=2^3\times3\times(-5)=-120\),是一个负完全数.
(2),当\(p_1=2、p_2=5\),这时
\(p_0=\frac{\left( 2^{n_1+1}-1\right)\left( 5^{n_2+1}-1\right)}{2\left( 2^{n_1+1}-2^{n_1}\right)\left( 5^{n_2+1}-5^{n_2}\right)-\left( 2^{n_1+1}-1\right)\left( 5^{n_2+1}-1\right)}=-5+\frac{6\times2^{n_1+1}+6\times5^{n_2+1}-6}{2\times2^{n_1}\times5^{n_2}+2^{^{n_1+1}}+5^{n_2+1}-1}\).\(n_1=3、n_2=1\)时,代入得:
\(p_0=-5+\frac{6\times2^{3+1}+6\times5^{1+1}-6}{2\times2^3\times5^1+2^{3+1}+5^{1+1}-1}=-5+\frac{6\times16+6\times25-6}{16\times5+16+25-1}=-5+2=-3\)是一个负素数,\(\therefore p=2^3\times5\times(-3)=-120\),是一个负完全数.
(3),当\(p_1=2、p_2=7\)这时,
\(p_0=\frac{\left( 2^{n_1+1}-1\right)\left( 7^{n_2+1}-1\right)}{2\left( 2^{n_1+1}-2^{n_1}\right)\left( 7^{n_2+1}-7^{n_2}\right)-\left( 2^{n_1+1}-1\right)\left( 7^{n_2+1}-1\right)}=-7+\frac{8\times2^{n_1+1}+8\times7^{n_2+1}-8}{2\times2^{n_1}\times7^{n_2}+2^{n_1+1}+7^{n_2+1}-1}\)
可以证明,\(n_1\ge6、n_2\ge2\)时,\(p_0\)无整数解.
\(n_1=2、n_2=1\)代入上式得:
\(p_0=-7+\frac{8\times2^{2+1}+8\times7^{1+1}-8}{2\times2^2\times7+2^{2+1}+7^{1+1}-1}=-7+\frac{8\times56}{112}=-7+4=-3\),是一个负素数
\(\therefore p=2^2\times7\times(-3)=-84\),是一个负完全数.
(4),当\(p_1=2、p_2=11\),这时:
\(p_0=\frac{\left( 2^{n_1+1}-1\right)\left( 11^{n_2+1}-1\right)}{2\left( 2^{n_1+1}-2^{n_1}\right)\left( 11^{n_2+1}-11^{n_2}\right)-\left( 2^{n_1+1}-1\right)\left( 11^{n_2+1}-1\right)}\)
=\(-11-\frac{10\times2^{n_1+1}+10\times11^{n_2+1}-10}{2\times2^{n_1}\times11^{n_2}-2^{n_1+1}-11^{n_2+1}+1}\)
可以证明,\(n_1\ge7、n_2\ge2\)时\(p_0\)无整数解.
当\(n_1=3、n_2=1\),这时:
\(p_0=-11-\frac{10\times2^{3+1}-10\times11^{1+1}-10}{2\times2^3\times11-2^{3+1}-11^{1+1}+1}=-11-\frac{10\times16+10\times121-10}{2\times8\times11-16-121+1}=-11-36=-47\),是一个负素数.
\(\therefore p=2^3\times11\times(-47)=-4136\),是一个负完全数.
......
还有\(k=3{,}4,...\)时的特例.不过\(k\)越大,公式越复杂,计算就越麻烦.有兴趣的同仁,再算出几个完全数来.

4:奇完全数的猜想
若\(p_1,p_2,...p_k\)取互不相等的非2素数,代入公式求得的\(p_0\)也是非2素数,那么
\(p=p_1^{n_1}p_2^{n_2}...p_k^{n_k}p_0\)就是一个奇完全数.它是否会出现,将拭目以待.

后语

老汉打字不算慢
一则短文弄两天
散发余热微贡献
为引珍玉抛残砖
2022.1.10.16:25打毕.

发表于 2022-1-10 21:19 | 显示全部楼层
完全数依次是 6,28,496,8128,33550336,8589869056,137438691328,……。后面的完全数越来越大,到第 39 个完全数时,就已经有 25674127 位数,据估计它以四号字打印出来时需要一本字典大小的书。目前已知的完全数大概已超过 50 个。它们全是偶数。
    偶完全数的判定:
若 \(p\) 和  \(2^p-1\) 均为素数,那么  \((2^p-1) 2^{p-1}\) 是一个完全数,并且是偶完全数。
    有没有奇完全数? 有人证明了,如果有,就要在大于 10 的 120 次方的数里去找,并且它必须是 \( p^{4a+1} q^2 \) 的形式,其中 \(p\) 为奇素数,\(a\) 和 \(q\) 为整数。
    关于  \(2^p-1\) 这个数,当 \( p \) 是合数时, \(2^p-1\)  也是合数。当 \( p \) 是素数时, \(2^p-1\) 可能是素数,也可能是合数。如果 \(2^p-1\) 是素数,就称之为梅森素数。因此,找到了多少个梅森素数,就等于找到了多少个偶完全数。
       以上内容摘自吴振奎著《数学中的美》一书。
  
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 楼主| 发表于 2022-1-22 10:25 | 显示全部楼层
用求完全数的一般公式导出的特例1就是\(p=2^n\left( 2^{n+1}-1\right),n\in N\),当\(n=k-1\)时,
\(p=2^{k-1}\left( 2^k-1\right),k\in N\),这与\(2^{p-1}\left( 2^p-1\right)\)的形式一样.只要\(\left( 2^k-1\right)\)是素数,则;\(2^{k-1}\left( 2^k-1\right)\)所得的数,一定是完全数。关于奇完全数我在文中已有猜想。
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