函数百题之1：求所有满射 f: N→N 使 \(f(n)≥ n+(-1)^n\; (\forall n)\)

elim

题：求所有满射\(\,f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) 使\(\,f(n)\ge n+(-1)^n\;(\forall n\in\mathbb{N})\)
解：令\(\,I_n=\{0, \ldots,\,2n-1\}\). 若有某\(\,k>0\)使\(\,f(I_k)\ne I_k,\)
则有某\(\,m\in I_k\,\)使\(\,m\not\in f(I_k).\) 因\(\,f\,\)是满射,必有某正整数\(n\ge 2k\,\)使
\(\,f(n)=m\le 2k-1\) 但\(\,f(2k)\ge 2k+1,\;f(n)\ge n-1\ge 2k\(n>2k)\)
即\(\,\forall n\ge 2k,\;f(n)> 2k-1\ge m.\) 所以\(\,f(I_k)=I_k\;(\forall k>0).\)
由此即知\(\,f(\{2k,2k+1\})=\{2k,2k+1\}\) 进而知道\(\,f(n):=n+(-1)^n\)
是唯一满足题意的函数。

elim

楼上的解用到了一些集合论的记号，其实很简单，不用解释大家也会慢慢熟悉起来的。