关于空间直和项证明中的疑惑

wufaxian

请看上图，既然U和W都是V的子空间，且要证明的就是V=U\(\bigoplus\)W，既然命题还没证明。图中长红线部分的结论从何而来？简单说，假如V是100维空间。U是三维空间，W是5维空间，\(u_{1 }\)… \(u_{3 }\)，\(w_{1 }\)… \(w_{5 }\)无论如何不能张成100维空间啊！更别说后面线性组合出100维空间中的向量v了！

所以应该如何理解这个证明过程？

luyuanhong

注意：上面有一句：“因此可以扩充成 V 的一个基 u1,…,um,w1,…wn”。

因为  u1,…,um,w1,…wn 是 V 的一个基，所以  u1,…,um,w1,…wn 可以张成 V 。

liangchuxu

结论是明显的。

liangchuxu

如果V是100维，U是5维，那么扩张的那个子空间W为95维，否则不能称其为扩张。而这样的扩张是存在的。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-9-22 07:23
注意：上面有一句：“因此可以扩充成 V 的一个基 u1,…,um,w1,…wn”。

因为  u1,…,um,w1,…wn 是 V 的 ...

谢谢lu老师回复。这个扩充似乎产生了一个矛盾，虽然题中说“扩充成了V的一个基”。但是截图倒数第二行：v=u+w, 其中u\(\in\)U，w\(\in\)W。也就是u向量和w向量都没有超出U和W的空间。而且这也就谈不上“扩充”了，因为一开始就是U和W的基。说明减少一个就不是基（无法张成空间了），增加一个就相关了（4维空间，如果有五个向量，必然出现相关）。还是以我举的例子。U是三维空间，W是5维空间，那么无论u和v怎么扩充，只要u\(\in\)U，w\(\in\)W，那么都无法成为更高维空间的基。


又或者，我应该反过来思考？既然题目说了“可以扩充成V的一个基”。就说明空间U和空间W与空间V的关系就不可能是3维空间 5维空间 与100维空间的关系。既题目给出的条件就已经排除了这种可能？对么？

liangchuxu

wufaxian 发表于 2021-9-22 14:43
谢谢lu老师回复。这个扩充似乎产生了一个矛盾，虽然题中说“扩充成了V的一个基”。但是截图倒数第二行：v ...

题中所述，并不矛盾。扩充的基向量自然构成一个V的子空间w。无论u\(\in\)U，w\(\in\)W，都是V空间的向量，如果dim(V)=k，则u=(a1,a2,...,ak)，w=(b1,b2,...,bk)。

至于能否扩张为V的基，可以反过来思考。如果U一组基无法扩充为V一组基，岂不是V=U?

wufaxian

liangchuxu 发表于 2021-9-22 18:39
题中所述，并不矛盾。扩充的基向量自然构成一个V的子空间w。无论u\(\in\)U，w\(\in\)W，都是V空间的向 ...

情况1，假设U W都是小于100维的空间，是V的子空间（V的维数是100维）

U的标准基是向量(1,0,0…………0) （0,1,0,0,0……0） 其中每个向量中都包含99个0。

W的标准基是向量（0,0,0,0,1,0,0……0）（0,0,0,0,0,1,0,0……0）(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0……0) 其中每个向量中都包含99个0。

如果你增加的向量u\(\in\)U  w\(\in\)W 都是在这个范围内。那么增加向量不还是跟U 或 W的标准基 相关么？实际没有增加任何独立向量！！而要构成V的基，需要100个独立向量。u\(\in\)U  w\(\in\)W 的向量增加再多，也无助于形成V的基。

这是我困惑的具体描述。

luyuanhong

举一个最简单的例子：

V={(x,y,z)｜x,y,z∈R} 是一个由全体三维向量组成的三维向量空间。

U={(x,y,0)|x,y∈R} 是 V 的一个子集。其中的元素都是三维向量，但是要满足一个条件：向量的第三个分量必须是 0 。

u1=(1,0,0)，u2=(0,1,0) 显然都在 U 中，而且线性无关（不相关）。

U 中的任何一个向量 (x,y,0)=x(1,0,0)+y(0,1,0) 都可以用 u1=(1,0,0)，u2=(0,1,0) 线性表出。

所以，u1=(1,0,0)，u2=(0,1,0) 是 U 的一组基。

因为 U 的基由 2 个线性无关的向量组成，所以，U 是一个二维向量空间，是三维向量空间 V 的子空间。

因为 u1=(1,0,0)，u2=(0,1,0) 线性无关，所以我们可以扩充一个向量 w1=(0,0,1) ，使得

u1=(1,0,0)，u2=(0,1,0)，w1=(0,0,1) 成为三维向量空间 V 的一组基。

记 W={(0,0,z)|z∈R} ，显然 W 中任何一个向量 (0,0,z)=z(0,0,1) 都可以用 w1=(0,0,1) 线性表出，

反之，任何可用 w1 线性表出的向量，必定都在 W 中，所以 W 是由 w1 张成的一维向量空间。

因为  u1=(1,0,0)，u2=(0,1,0)，w1=(0,0,1) 是三维向量空间 V 的一组基，所以 V 中的任何一个向量，

都可以用 u1,u2,w1 线性表出，即必有 v=a1(1,0,0)+a2(0,1,0)+b1(0,0,1)=a1u1+a2u2+b1w1 。

其中 a1u1+a2u2 是用 u1,u2 线性表出的向量，所以是 U 中的向量。

其中 b1w1 是用 w1 线性表出的向量，所以是 W 中的向量。

由此可见，V 中的任何一个向量，都可以表示为一个 U 中的向量加一个 W 中的向量的形式，所以有 V=U+W 。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-9-22 22:42
举一个最简单的例子：

V={(x,y,z)｜x,y,z∈R} 是一个由全体三维向量组成的三维向量空间。

谢谢lu老师详细的回复。你举得这个例子我看懂了。我觉得完全成立。但是如果U的维数+W维数 <V的维数  上述过程怎么成立呢？