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本帖最后由 elim 于 2021-9-13 22:08 编辑
注记:当\(\,p=10\,\)时楼上就是已知实数展开成十进无尽小数的公式.
例 1.\(\,x=1/3,\,p=10.\;\;10^n x\not\in\mathbb{N}\,(\forall n)\)
\(\therefore\quad a_n=\small\lfloor 10^n/3\rfloor-10\lfloor 10^{n-1}/3\rfloor=\dfrac{10^n-1}{3}-10\dfrac{10^{n-1}-1}{3}=3\)
\(\therefore\quad\small\dfrac{1}{3}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{10^n}=0.333\ldots\)
例 2.\(\,x=1/4,\;p=10.\)
\(\quad 10/4\not\in\mathbb{N},\;\therefore\; a_1=\lfloor 10/4\rfloor -10\lfloor 1/4\rfloor=2\)
\(\quad 10^2/4\in\mathbb{N}\not\ni 10/4,\;\therefore a_2 = \lfloor 10^2/4\rfloor-10\lfloor 10/4\rfloor -1=4\)
\(\quad 10^{n-1}/4\in\mathbb{N}\;(\forall n>2),\;\therefore\; a_n =9\;(n> 2)\)
\(\therefore\;{\large\frac{1}{4}}=0.24\dot{9}\) (四分之一的十进制无尽小数表示!)
题 1. 对\(\,x=1/7,\,p=10,\)试证 \({\small\dfrac{1}{7}}=0.\dot{1}4285\dot{7}\)
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