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楼主: KKKKK

任给 1≥x,y>0 ,证明:x^x+y^y≥x^y+y^x

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发表于 2021-11-1 23:12 | 显示全部楼层
老帖子,再请教群里的大侠,有知道证明方法的吗?无论是证实,还是证伪都可以哈!
是否有什么更高级的工具方法可以搞定它呢?
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发表于 2021-11-4 07:30 | 显示全部楼层
此题关键---如何证明单调性?找解决方法蛮难的。
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发表于 2021-11-27 21:43 | 显示全部楼层
这道题我不会做。
我试过我会的各种方法;尝试用无穷级数,导数等等。也用过计算机做过辅助验证,帮助调整证明思路。结果也是没有答案,也没有找到反例。
不管怎样,我把我做的部分思路分享出来。说不定哪位能提供些思路,就搞定了呢?
也许有哪位同学能提供更高级的思路和数学工具能搞定?

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发表于 2021-11-29 10:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-11-29 10:20 编辑

\(设x=\sin a\ \ y=\cos a\ 则有:2≥\frac{(\sin a)^{\sin a}+(\cos a)^{\cos a}}{(\sin a)^{\cos a}+(\cos a)^{\sin a}}≥1\ \ \ 在这里:\pi/2 ≥ a > 0\)

\(计算机验证,\frac{(\sin a)^{\sin a}+(\cos a)^{\cos a}}{(\sin a)^{\cos a}+(\cos a)^{\sin a}}\ 最小不会小于\ 1\)
NMinimize[{(Sin[a]^Sin[a] + Cos[a]^Cos[a])/(Sin[a]^Cos[a] + Cos[a]^Sin[a]), \[Pi]/2 > a > 0}, {a}]
{1., {a -> 0.785398}}

\(计算机验证,\frac{(\sin a)^{\sin a}+(\cos a)^{\cos a}}{(\sin a)^{\cos a}+(\cos a)^{\sin a}}\ 最大不会大于\ 2\)
NMaximize[{(Sin[a]^Sin[a] + Cos[a]^Cos[a])/(Sin[a]^Cos[a] + Cos[a]^Sin[a]), \[Pi]/2 > a > 0}, {a}]
{2., {a -> 1.5708}}

多一句:三角函数解题有优势。
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发表于 2021-11-29 21:27 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2021-11-29 10:15
\(设x=\sin a\ \ y=\cos a\ 则有:2≥\frac{(\sin a)^{\sin a}+(\cos a)^{\cos a}}{(\sin a)^{\cos a}+(\co ...

你用三角函数解法,去欺负欺负平面几何题目是可以的。但是用在这里,就是弄巧成拙了。
玩笑归玩笑。也感谢你参与讨论。
1、x,y值是相互独立的,不能设置为一个值a的三角函数变量。x^2+y^2不一定等于1.
2、计算机验证,不能算是证明吧。如果你能找到反例,那才算证明它是错的。

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王守恩 + 10 很给力!

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发表于 2021-11-30 07:43 | 显示全部楼层
cgl_74 发表于 2021-11-29 21:27
你用三角函数解法,去欺负欺负平面几何题目是可以的。但是用在这里,就是弄巧成拙了。
玩笑归玩笑。 ...

杀鸡不用牛刀。

NMinimize[{(x^x + y^y)/(x^y + y^x), x >= y >= 0}, {x, y}]
{1., {x -> 0.906038, y -> 0.906038}}

NMaximize[{(x^y + y^x)/(x^x + y^y), x >= y >= 0}, {x, y}]
{1., {x -> 0.906038, y -> 0.906038}}

NMinimize[{(x^x + y^y) - (y^x + x^y), x >= y >= 0}, {x, y}]
{0., {x -> 0.906563, y -> 0.906563}}

NMaximize[{(x^y + y^x) - (x^x + y^y), x >= y >= 0}, {x, y}]
{0., {x -> 0.906563, y -> 0.906563}}
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