求助：提高近似积分精度

njzz_yy

njzz_yy

在0.5N处，被积函数，级数展开，ln0.5N倒数一次幂积分值获得，希望获得，ln0.5N倒数二次幂积分值，不知道有没有更好的方法

zytsang

\(\,\ln^2{N}\,\)的写法会产生歧义。写清楚是
\[(\ln{N})^2?\]
还是
\[\ln(\ln{N})?\]

zytsang

应用泰勒级数公式，对积分直接求导即可。积分在\(\,x_0=3^+\,\)的邻域展开为
\[\int_3^{x}\frac{\mathrm{d}t}{\ln{(t)}\cdot\ln{(2x-t)}}=a_0 + a_1(x-3) + a_2(x-3)^2 + a_3(x-3)^3 + a_4(x-3)^4 + a_5(x-3)^5 + \cdots\]
其中系数为
\[a_0=0\]
\[a_1=\frac{1}{(\ln3)^2}\]
\[a_2=-\frac{2}{3(\ln3)^3}\]
\[a_3=\frac{2}{27(\ln3)^4}(5+2\ln3)\]
\[a_4=-\frac{2}{81(\ln3)^5}\left(8+7\ln3+2(\ln3)^2\right)\]
\[a_5=\frac{2}{1215(\ln3)^6}\left(64+88\ln3+49(\ln3)^2+12(\ln3)^3\right)\]
\[\vdots\]
\(\,a_6\,\)和以后的公式太长就不写了。