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可数与可列 两个数学术语的意义与正则公理的问题

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发表于 2021-4-9 10:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
只有有穷集合才可以使用一一对应法则,得到表达集合元素个数的自然数表达数字,因此,可以称有穷集合是可数集合。对所有无穷集合(包括自然数集合)都不能说它们是可数集合。关于无穷集合的“可列”术语,也需要研究,对自然数集合的元素,它具有从小到大排成一个无穷序列的性质,因此可以说“自然数集合是可列而又列不到底”的集合;对有理数集合与实数集合,它的任何元素都没有左邻与右邻(左、右邻的概念可参看文献谢邦杰《超穷数与超琼论法》的叙述),所以这两个无穷集合,无法按照从小到大的顺序排成一列,它俩都不具有从小到大的可列性。与这个问题有关,谢邦杰《超穷数与超琼论法》]讲道“用Zorn 引理(等价于选择公理)来证明整序定理:任何集合∑均可排成一个整序集”,但事实上,这两个集合都无有极小元素,即都不满足正则公理(或称良序公理)按照谢邦杰《超穷数与超琼论法》]中整序集(或称良序集)的定义,它俩都不是整序集,谢邦杰《超穷数与超琼论法》]中的整序定理对这两个集合不成立,使用Zorn 引理(等价于选择公理)的这个整序定理的证明无效。
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