正方形 ABCD 边长为 5，E,F 分别在 AB,AD 上，EF=4，sin∠ECF=3/5 ，求 ΔECF 的面积

wintex

請問幾何

wintex

圖沒截好

liangchuxu

提供解题思路，时间仓促，太烦了，可能计算有误。

liangchuxu

刚才午休再仔细看了下题目，正方形边长是5，不是4。要改一下了。

liangchuxu

改了一下。

波斯猫猫

题：正方形ABCD边长为5，E,F分别在AB,AD上，EF=4，sin∠ECF=3/5，求ΔECF的面积。

思路：1，设∠ECF=θ，∠ECB=α，∠DCF=β，BE=5x，DF=5y。

2，由条件有cotθ=4/3，tanα=x，tanβ=y。

3，SΔECF=25-25(x+y)/2-25(1-x)(1-y)/2=25(1-xy)/2。

4，在RtΔEAF中，有25（1-x）＾2+25（1-y）＾2=16，即25（x+y）＾2-50（x+y）-50xy=-34。（1）

5，tan（α+β）=tan（π/2-θ）=cotθ=4/3，即（x+y）/（1-xy）=4/3，或x+y=4（1-xy）/3。（2）

6，（2）代入（1）消去x+y得，400（1-xy）＾2/9-200（1-xy）/3-50xy=-34，

即200（1-xy）＾2-75（1-xy）-72=0，解得1-xy=（75+15√281）/400。

7，SΔECF=25(1-xy)/2=（75+15√281）/32。

波斯猫猫

5搂：代错一个数据EC＾2=16+（4-x）＾2，应为EC＾2=16+（5-x）＾2。

按5楼的思路，也得到SΔECF=（75+15√281）/32。

王守恩

\(s=5^2 - \frac{5 (5 - x)}{2} -\frac{5 (5 -\sqrt{4^2 - x^2})}{2} -\frac{ x \sqrt{4^2 - x^2}}{2}\)
\(=\sqrt{5^2 + (5 - x)^2}*\sqrt{5^2 + (5 - \sqrt{4^2 - x^2})^2}*\frac{3}{5}*\frac{1}{2}\)

liangchuxu

波斯猫猫 发表于 2021-3-5 15:33
5搂：代错一个数据EC＾2=16+（4-x）＾2，应为EC＾2=16+（5-x）＾2。

按5楼的思路，也得到SΔECF=（75+15 ...

谢谢老师指正。经常犯老毛病。