现代几何学的发展推动我们对于空间的认识。黎曼(Bernhard Riemann)和他的老师高斯(Johann Carl Friedrich Gauss)毫无疑问是现代几何学的两位奠基人。高斯是现代几何学的先父,而真正的创始人可能是黎曼。
黎曼
黎曼的一生短暂,只在世40年,就英年早逝。他的学术生涯虽然只有短短16年,但是他发表的每一篇文章都开创了整个几何和数学不同方面的领域,尤其是现代几何。1854年,黎曼在《论关于作为几何学基础的假设》的讲师资格论文中开启了现代几何学的概念。黎曼几何这一漂亮的理论变革了人们对古希腊几何学家所引入的空间的认识。可以说如果没有黎曼几何的发展,爱因斯坦(Albert Einstein)将会需要更多的时间来创立伟大的广义相对论。值得一提的是,他的博士论文全部是通过他自己想象写出来的,除了高斯的一些工作以及赫尔巴特(Johann Friedrich Herbart)的哲学作品,黎曼可以借鉴的文献很少。
黎曼以后,庞加莱(Jules Henri Poincare)推进了几何发展。庞加莱在19世纪后期证明推广了黎曼的单值化定理。这是一个很重要的定理,影响到今天多维空间的发展。
黎曼几何的主要奠基人是三位意大利学者:列维·齐维塔(Levi-Civita,)、克里斯托费尔(Elwin Bruno Christoffel)和路易吉·比安基(Luigi Bianchi)。由于身体不佳,黎曼临终前几年都在意大利过冬疗养,他在意大利的四年影响了一批学者。其中前述三位学者成功发展了黎曼流形的微积分。