这个 ln(1+t)-ln(1-t) 的级数展开式是怎么来的？

王守恩

永远 发表于 2021-1-7 23:37
看着越来越复杂了，找到突破口是关键

谢谢 永远！谢谢 陆老师！
\(1，\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\big(\frac{1}{x}\big)^{n+1}=0\)
\(2，\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\big(\frac{1}{x}\big)^{n-1}=1\)
\(3，\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n}\big(\frac{1}{x}\big)^{n-1}=2...\)
\(4，\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}\big(\frac{1}{x}\big)^{n+1}=0\)
\(5，\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}\big(\frac{1}{x}\big)^{n+0}=1\)
\(6，\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{n+1}\big(\frac{1}{x}\big)^{n+0}=2...\)
\(7，\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}\big(\frac{1}{x}\big)^{n+1}=0\)
\(8，\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}\big(\frac{1}{x}\big)^{n+0}=1\)
\(9，\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{2n+1}\big(\frac{1}{x}\big)^{n+0}=2...\)
\(上面\ 9\ 条是常识。下面还是常识。若\ 1<x<\infty，我们恒有：\)
\(\displaystyle\ln(x)\equiv \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{2n+1}\big(\frac{x-1}{x+1}\big)^{2n+1}\equiv \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\big(\frac{x-1}{x}\big)^{n}\ \ \ 即得：\)
\(\displaystyle\ln(1+\frac{1}{x})-\ln(1-\frac{1}{x})\equiv \ln(\frac{x+1}{x-1})\equiv \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{2n+1}(\frac{1}{x})^{2n+1}\equiv \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(\frac{2}{x+1})^{n}\)

永远

elim 发表于 2021-1-8 04:48
问出主贴问题的人，要算3楼的积分，不容易。

看了下课本，科大史老师数分p250页上课例题

王守恩

永远 发表于 2021-1-7 23:37
看着越来越复杂了，找到突破口是关键

谢谢 永远！谢谢 陆老师！挺不错的话题！

\(还是常识，注意细微变化。若\ 1<x<\infty，我们恒有：\)
\(\displaystyle\ln(x)\equiv \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{2n+1}\big(\frac{x-1}{x+1}\big)^{2n+1}\equiv \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{2n-1}\big(\frac{x-1}{x+1}\big)^{2n-1}\)
\(\displaystyle\equiv \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}\big(\frac{x-1}{x}\big)^{n+1}\equiv \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\big(\frac{x-1}{x}\big)^{n}\equiv \sum_{n=\infty/x}^{\infty}\frac{1}{n}\)