已知 [x+√(x^2+1)][y+√(y^2+1)]=1 ，求 (x+y)^3

elim

题：已知\(\,(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1.\;\)求\((x+y)^3.\)

波斯猫猫

令a=x+√(x＾2+1)，b=y+√(y＾2+1)，则ab=1，且a＾2-2ax=1，b＾2-2by=1.从而x=(a＾2-1)/(2a)，y=(b＾2-1)/(2b)，所以x+y=(a＾2-1)/(2a)+(b＾2-1)/(2b)=(a＾2b-b+ab＾2-a)/(2ab)=(a-b+b-a)/2=0，即（x+y）＾3=0.

elim

题：已知\(\,(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1.\;\)求\((x+y)^3.\)
解：令\(\;a=x+\sqrt{x^2+1},\;b=y+\sqrt{y^2+1},\;\)则
\(\qquad a =\frac{1}{b}=-y+\sqrt{y^2+1},\; a^{-1}=b,\; 2y=a^{-1}-a\)
\(\qquad\)对称地,\(\,2x = b^{-1}-b=a-a^{-1},\;\;\therefore\;\;x+y=0\)
\(\qquad(x+y)^3=0.\)

波斯猫猫

由[x+√(x＾2+1)].[y+√(y＾2+1)]=1，有y+√(y＾2+1)=-x+√(x＾2+1)=-x+√【(-x）＾2+1】.
显然f(z)=z+√(z＾2+1)是增函数（导数为正），所以y=-x，即x+y=0.

天山草@

把 y 看作已知数解关于 x 的方程，可得  x=-y。

天山草@

luyuanhong

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