已知 x^2-2x+2=0 与 x^2+2mx+1=0 的四个根在复平面上对应的四点共圆，求 m 的取值范围

wintex

請問幾何

波斯猫猫

已知 x^2-2x+2=0 与 x^2+2mx+1=0 的四个根在复平面上对应的四点共圆，求 m 的取值范围

1，显然 x^2-2x+2=0 的两点C和D为1±i；
2，由x^2+2mx+1=0有（x+m）^2=m^2-1，
（1）当｜m｜=1时，x=-1,这时不满足条件；
（2）当｜m｜＜1时，这时两点A和B为x=-m±√（1-m^2）i，且关于x轴对称。这时A、B、C、D构成一个矩形或等腰梯形，即A、B、C、D共圆；此时-1＜m＜1.
（3）｜m｜＞1时，这时两点A和B为x=-m±√（m^2-1），A和B的中点为-m，且易知其为圆心。所以直径为2√（m^2-1）.由条件此时，有√（m^2-1）=√【（m+1）^2+1）】，解得m=-3/2.
综上，结论为-1＜m＜1或m=-3/2.