为什么随机游走的醉汉不会返回原点？

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为什么随机游走的醉汉不会返回原点？

作者 | 高宏

一、随机游走问题

1905年，英国统计学家Pearson在《自然》杂志上公开求解随机游走问题（Random Walk Problem）：如果一个醉汉走路时每步的方向和大小完全随机，经过一段时间之后，在什么地方找到他的可能性最大？


图1 随机游走的醉汉

1921年，匈牙利数学家Polya在研究随机游走问题后，证明了“一维或二维随机游走返回原点的概率为100%”的随机游走定理，并得出了随机游走的醉汉最终会返回原点的结论。

日本著名数学家角谷静夫通俗形象地将Polya随机游走定理表述为：喝醉的酒鬼总能找到回家的路（A drunk man will eventually find his way home）。因此，随机游走定理也被称为酒鬼回家定理。

2012年，Polya的随机游走定理被《数学之书（The Math Book）》列入数学发展史上最重要的250个里程碑式事件之一。《数学之书》是这样用现代语言描述随机游走问题的，想象一只机器甲虫在一条无限长的水管中随机地向前或向后移动一步，问它最终回到原点的概率是多少？Polya随机游走定理证明：如果不限制机器甲虫在一维空间内随机游走的步数，则机器甲虫最终回到原点的概率等于1。


图2 《数学之书（The Math Book）》

二、与高尔顿板实验结果不一致

高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿（Galton）专门设计用来演示一维随机游走过程及正态分布现象的实验装置（图3）。


图3 高尔顿板随机游走实验

高尔顿板上的每一个圆点表示钉在板上的钉子，钉子之间的距离彼此相等，呈三角形排列，上一层每一颗钉子的位置恰好位于下一层两颗钉子的正中间。

当小球从最上方的入口落下时，小球每次碰到钉子后向左、右两个方向落下的概率各为50%，直到最后落入底部的一个格子内。

小球的下落过程就相当于一维简单随机游走。把大量小球逐个从入口处放下，只要高尔顿板的面积足够大、钉子数量足够多，落在底部格子内的小球将形成与正态分布曲线相似的中间高、两边低的钟形曲线。

如果高尔顿板面积足够大，小球在下落过程中将逐渐向左右两个方向扩散，表明一维随机游走的小球（醉汉或机器甲虫）随时间远离原点。

三、与随机游走模型的数字特征不一致

随机游走是《随机过程》学科中用于描述动态随机现象的一种基本随机过程。液体中悬浮微粒的布朗运动、空气中的烟雾扩散、光纤陀螺的随机游走误差、股票市场的价格波动等动态随机现象均可用随机游走模型进行描述。




图4 一维简单随机游走样本轨道

四、polya随机游走定理的证明方法



五、polya解题方法的错误分析



Polya导致研究对象错位的样本轨道研究方法被《随机过程》和《数理金融学》所传承。《随机过程》教科书在分析和推导随机游走、泊松跳跃和布朗运动等典型随机过程样本轨道性质时，均将样本轨道当作随机变量，并用描述随机变量空间统计特性的数字特征来刻画一条样本轨道随时间的演变规律，从而得出了一系列与事实不符的错误结论，《随机过程》教科书为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的样本轨道研究方法、理论及工具。

《数理金融学》将随时间变化的股票价格（相当于一个随机游走醉汉的位移）错误地抽象为随机变量，建立的几何布朗运动价格模型、BS期权定价公式和波动率参数不可能正确描述实际股票价格波动现象和波动程度，在实际应用时给金融市场带来了巨大的灾难。

国内外大量的实证研究已得出结论：BS期权定价公式是导致1987、1997和2007年三次重大金融危机的主要原因，科技部基础研究司编写的《中国基础研究发展报告》也明确指出：BS期权定价理论是造成历次重大金融危机的关键性原因。

Polya将样本轨道当作随机变量的研究方法导致《随机过程》和《数理金融学》陷入了严重的范式危机，《随机过程》和《数理金融学》学科的样本轨道研究方法将面临从随机变量到时间函数的重大范式变革。

六、随机游走位移公式



作者简介：

高宏，毕业于清华大学精密仪器系，分别获工学学士、硕士和博士学位，留校任教从事测试信号分析与处理的教学与科研工作，现任紫光股份有限公司CTO，北京市科协委员。

Nicolas2050

这个写的有点胡扯了，自以为是。随机的数字特征不一致是样本不足导致偏差。