一文搞懂代数几何发展史（一）

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一文搞懂代数几何发展史（一）

作者 | 陈跃
来源 | 科学出版社数学教育

编者按

按照俄国数学家沙法列维奇的观点，代数几何在20世纪现代数学的发展历史中占据着一个相对中心的位置。抽象代数、代数拓扑与微分拓扑、整体微分几何以及分析学中的许多重要理论都是因代数几何研究的需要而提出的。我们不妨可以简单地将代数几何看成是“用多项式研究几何、用几何的想法研究多项式”的学科。特别是从代数几何中体现出来的代数与几何相互作用的方式，具有普遍的意义，目前这种思想方法已经渗透到了几乎所有的现代数学各主要分支学科中。在大多数20世纪基础数学重大进步（例如获得菲尔茨奖和沃尔夫奖的工作）的背后，总能看到代数几何的影子。例如获得沃尔夫奖的陈省身与丘成桐两位先生最重要的工作就与代数几何密切相关：陈（省身）示性类被深刻地推广与运用到代数几何中，而著名的卡拉比-丘（成桐）流形则是目前代数几何中最热门的研究对象之一。本文将简要回顾代数几何的发展历史，从中可以帮助我们了解这个颇为神奇的数学分支学科。

一、在19世纪之前的探索

简单来说，代数几何的主要研究对象是“代数簇”(algebraic variety)，最简单的代数簇(也称为仿射代数簇)是一组多元多项式的零点集合。对代数簇的研究实际上从古代希腊就开始了，两千年前的古希腊数学家们所熟悉的直线、圆、圆锥曲线、三次曲线等代数曲线和平面、球面、柱面和二次曲面等代数曲面都属于只用一个多项式来确定的代数簇。在没有直角坐标系的条件下，阿波罗尼乌斯(Apollonius)运用在今天看来很笨拙的综合几何方法对圆锥曲线作了十分详尽的研究，发现了它的许多性质。到了近代法国数学家笛卡尔(Descartes)和费马(Fermat)能够用解析几何方法来研究任意代数曲线方程的时候，事情就发生了质的飞跃。古代希腊数学家由于没有代数工具，他们只能局限于研究低次代数方程所表示的曲线或曲面，而有了解析几何之后，在理论上就可以讨论任意次数的代数曲线或曲面，从而就可以把所有的几何问题都转化为代数问题来解决。费马还证明了所有非退化的二次曲线都是圆锥曲线。微积分的发明者之一、数学家牛顿对三次平面曲线进行了初步的分类(共有72种)，而欧拉(Euler)则对所有的二次曲面进行了分类。


图1：笛卡尔

在17世纪时，德沙格(Desargues)通过研究画家的透视方法而形成了射影对应的概念，他还引进了无穷远点的概念。在普通的欧氏平面和空间中加入了无穷远点后，就得到了紧致的射影平面和射影空间，它们是许多经典代数簇所在的空间。另一方面，欧拉的虚数概念的引入也完成了代数方面的“封闭化”，由此可以简化数学命题的叙述。例如在射影平面中，非退化的二次曲线只有一种(在普通欧氏平面中要分为椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线)，并且三次曲线不是牛顿所分的72种，而是只有三种曲线。


图2：牛顿

牛顿和莱布尼茨(Leibniz)还用所谓的“消去法”得到了确定两条代数曲线相交点的方程组(即大学高等代数课本中的“结式”方程组)。在此基础上，数学家贝祖(Bezout)证明了著名的贝祖定理：设C和C’是次数分别为m和n的平面射影复曲线，则C和C’相交于mn个点(计入重数)。例如从表面上看，复射影平面内的一条直线与一条抛物线的相交情形一共有四种：交于两点、交于一点、相切与无交点。但其实直线与抛物线交于一点时，它们还相交于抛物线上的无穷远点，而相切可以理解成它们相交于两个重合在一起的点，至于不相交的情形，则可以看成是它们相交于复平面上的两个被称为“圆点”的虚的无穷远点。这样，一次的直线与二次的抛物线在复射影平面上总有1×2＝2个交点。又如一个椭圆与一条三次曲线总是相交于2×3＝6个交点等等。贝祖定理实际上是代数几何中一个重要小分支——相交理论的起点。


图3 莱布尼茨

二、19世纪对代数簇的初步研究

到了19世纪上半叶的射影几何理论正式登场后，才初步形成了一些关于复代数曲线与复代数簇的代数几何定理。以法国数学家庞斯列(Poncelet)为代表的一批数学家建立了射影几何的系统理论，总结和整理了大量的射影几何命题和方法，特别是射影变换的理论。例如可以将圆锥曲线看成是两个相互射影对应线束的对应直线的交点轨迹等。在射影几何里还有一些涉及到计数几何(enumerative geometry)的定理，例如可以证明每个三次代数曲面上都有27条直线、每条非退化四次平面代数曲线都有28条与曲线同时相切两次的双切线、与5条已知圆锥曲线都相切的圆锥曲线一共有3264条等结论。

黎曼是19世纪最伟大的数学家。他在研究阿贝尔积分理论的过程中提出了内蕴的“黎曼面”的概念和黎曼面上代数函数的理论。阿贝尔积分是复变函数论中与复代数曲线紧密相关的一种复积分，它来源于微积分中更早的“椭圆积分”，而研究椭圆积分的最初目的则是为了计算椭圆的周长(我们在微积分里已经知道，类似于求椭圆周长的这种定积分是没有原函数的，它们只能通过近似计算的方法来求出定积分的值)。现在在复平面内，如果f(x,y)是一个二元复多项式，那么f(x,y)＝0就定义了一条复代数曲线，注意在这里可以取复数值的x和y都是实2维的复变量，因此复平面就可以看成是实4维空间，而相当于两个实数等式的复数等式f(x,y)＝0实际上又确定了两个4维空间中的曲面，由于每增加一个实数等式就相当于减少一个几何维数，于是复代数曲线f(x,y)＝0实际上就是一个4－2＝2维的实曲面。这样，每一条复代数曲线都对应了一个抽象的被称为黎曼面的几何对象。黎曼的初始目标是对黎曼面上所有的阿贝尔积分进行分类，由此出发他得到了一系列刻画黎曼面性质的重要定理。由黎曼面与代数曲线的对应关系可知，他实际上是得到了不少关于代数曲线理论的重要成果，因此我们可以讲，是黎曼首创了用分析来研究代数曲线的方法。


图4 黎曼

黎曼首次发现了“亏格”这一现代几何的基本概念(对应了几何对象上“洞”的个数)，并提出了代数几何中最基本的双有理变换的思想。双有理变换是一种比射影变换更加宽泛的变换，它能够保持代数曲线的亏格不变，并且此时两条代数曲线上的有理函数域一定是同构的。注意到有理函数域是一个代数对象，因此这实际上就是建立了几何与代数之间的初步联系。从黎曼的时代到现在，从某种程度上说，整个代数几何主要就是在研究一般代数簇的双有理分类问题。黎曼和他的学生罗赫一起还发现了著名的(代数曲线上的)黎曼-罗赫定理，这个定理反映了代数曲线上的由全体有理函数组成的线性空间的性质是如何受到亏格这一几何不变量控制的。这个深刻定理后来在20世纪被推广到了高维代数簇的情形，并直接导致了著名的阿蒂亚-辛格指标定理的发现。

黎曼在1854年的著名演讲中所给出n维黎曼流形的初步概念，不仅仅是为了研究物理学意义上几何空间的需要，其实也是在为探索一般的高维代数簇性质所做的准备工作。黎曼在历史上第一次发现，在一般的高维微分流形上也可以设置任意的度量。他经过推算发现了刻画黎曼流形局部几何性质的主要不变量——黎曼曲率张量。这些张量实际上成为了现代整体微分几何发展的起点，并且最终都会通过某种形式进入到了代数几何的理论中。更令人难以置信的是，黎曼在研究数论时所提出的大名鼎鼎“黎曼猜想”，后来竟也变成了推动代数几何发展的强大动力！所谓的黎曼猜想是说：复变函数黎曼函数的全部复零点的实部都等于。黎曼猜想是一个内涵极其丰富的猜想，它应该是现代数学中还没有被证明的最重要的猜想。

代数数论的研究其实也是推动代数几何理论发展的另一个重要来源。为了研究代数数域的需要，19世纪的德国数学家克罗内克(Kronecker)和戴德金(Dedekind)等人引入理想、赋值和除子等基本概念。以这些数学家为代表的“代数学派”的工作目标是设法对黎曼用分析方法给出的结果试图作出纯代数的证明，毋庸置疑，这对代数几何这门学科的性质来讲是至关重要的。与此同时，以马克斯·诺特(Max Noether)和克莱布施(Clebsch)为代表的“几何学派”继续从经典射影几何的角度研究复代数曲线，他们发现了平面曲线奇点解消的“胀开”(blow up)方法。

三、19世纪末到20世纪早期对代数簇的深入研究

从19世纪末期开始，代数几何的发展进入了一个新的历史阶段。以皮卡(Picard)和庞加莱(Poincare)为代表“分析学派”试图将黎曼的复代数曲线理论推广到复代数曲面上。虽然这里的(复的)维数仅仅增加了一维，但是与代数曲线的情形完全不同，研究代数曲面需要克服许多困难，难度极大。例如在复三维的空间中，如果g(x,y,z)是一个三元复多项式，那么g(x,y,z)＝0就是一个复代数曲面。与复代数曲线类似，g(x,y,z)＝0实际上确定了实6维空间中的一个6－2＝4维的实微分流形。

在研究代数曲面的过程中，非常需要了解高维流形的拓扑性质。法国数学家庞加莱为此首创了代数拓扑的同调(homology)理论。为了弄清楚黎曼所说的高维“贝蒂(Betti)数”到底是什么，庞加莱开始建立单纯复形的同调理论，以便能够严格地证明黎曼的直观猜想。他从1895开始，写出了著名的关于同调理论的一系列文章。其大致的想法是，先将代数簇进行三角剖分后得到一系列单纯形，然后就能够以此构造出单纯同调群(其实也是线性空间)，这样，每个贝蒂数就分别是这些线性空间的维数，它们都是拓扑不变量，可以用来刻画代数簇的几何性质。接着莱夫谢茨(Lefchetz)在20世纪初期进一步用这个同调理论开始研究复代数曲面的拓扑性质，得到了许多深刻的定理。


图5 庞加莱

对于代数曲面理论研究的最主要的贡献还是来自于著名的“意大利学派”。这个学派的三个主要代表人物是卡斯泰尔诺沃(Castelnuovo)、恩里奎斯(Enriques)和塞维里(Severi)，他们在20世纪初期用天才的几何直觉和高超的几何技巧，综合运用包括分析与拓扑方法在内的各种方法创造了复代数曲面的一个非常深刻的理论，包括代数曲面的奇点解消、除子与线性系的经典理论、代数曲面的黎曼-罗赫定理的初步形式以及代数曲面的模空间等等。例如他们用一组平面去截割一个代数曲面，在所得的代数曲线上再运用黎曼的代数曲线理论的结果，从中得到了关于代数曲面的一些重要结果。与代数曲线只有单一的不变量亏格不同，刻画代数曲面除了几何亏格以外，还需要算术亏格等其他好几个不变量。

但同时意大利学派的工作也有一个致命的缺陷，那就是缺少一个统一的逻辑基础，一些证明要依赖于数学家心目中某种神秘的几何直观，因而缺乏严密性。和数学史上常见的情形一样，这种逻辑基础不稳的状况对于视严格为生命的数学家们来说是一件特别纠结的事，它严重阻碍了代数几何的向前发展。