无穷集合的概率测度与势（基数）之间的一个矛盾。

fm1134

elimqiu

概率是一种测度，你不叫它测度它还是具有测度的本质。
有限情形的概率是两个计数的比，它不能推广到无穷的情况，因为没有办法给出自洽的基数的除法。
自然数的算术能不能全盘推广成基数的算术呢？ 不行。 其主要原因是一些运算的可逆性在无穷的情形不成立。
例如，设 A, B 是有限基数，它们不等，C 是无穷基数，那么(用基数相等的定义)容易证明： A + C = B + C  
但这推不出 A ＝ B， 所以基数算术中加法的逆运算减法一般地不能建立。 无视有限和无限的本质不同是不行的。
总之 主题所论的‘矛盾’不是数理逻辑意义上的矛盾， 是直觉思维容易产生的困惑。

luyuanhong

下面谈谈我对这问题的一些看法：
（1）集合论中集合的势（基数），与概率论中事件的概率，没有任何关系，是两回事情。
所以，我们在讨论事件概率的计算时，不应该把集合论中集合的势（基数）拉扯进来。
（2）在概率论中，当样本空间中的样本点数有限而且等概率时，可以用样本点个数之比
来计算事件的概率；当样本空间是一个区域，样本空间中的样本点数无穷而且等概率时，
可以用测度之比来计算事件的概率。
（3）楼主提出：能不能将样本点数有限的情形，直接推广到样本点数无穷的情形？当
样本空间中的样本点数无穷而且等概率时，能不能也用样本点数之比来计算事件的概率？
这种想法是很自然的，也有一定的道理。
（4）但是，在传统的标准的数学中，这种想法是行不通的。按照传统的标准的数学的观点，
无穷大不是一个具体的数，不能像普通的数那样作加减乘除运算。所以，当样本点数无穷时，
样本点数之比是没有意义的，显然不能用样本点数之比来计算事件的概率。
（5）然而，如果我们愿意接受“非标准分析”的观点，楼主提出的想法，倒是有可能实现的。
照“非标准分析”的观点看来，在数系中，除了普通的实数以外，还可以有无穷大实数存在。
在“非标准分析”中，无穷大实数都是具体的数，可以像普通的实数那样，作加减乘除运算，
服从与普通的实数运算同样的运算规律。
（6）设样本空间用区间［0,2］表示，事件 A 用区间［0,1］表示。按照“非标准分析”观点，
我们可以取一个无穷大正整数 N ，将样本空间［0,2］平均分成 2N 个小区间，每一个小区间
的长度都是 1/N 。因为 N 是一个无穷大正整数，所以小区间的长度 1/N 是一个无穷小量。
如果我们把每一个长度为无穷小的区间，都看作是一个样本点。这样，样本空间［0,2］中就有
2N 个样本点。同时，区间［0,1］被平均分成了 N 个长度为 1/N 的小区间，也就是说，代表
事件 A 的区间［0,1］中有 N 个样本点。设已知随机变量是均匀分布的，每一个长度为 1/N 的
小区间的概率是相等的，也就是说，每一个样本点都是等概率的，所以，可以用下列公式来计算
事件 A 的概率：
   P(A)＝（区间［0,1］中的样本点个数）/（区间［0,2］中的样本点个数）＝N/(2N)＝1/2 。
（7）这样，我们依靠“非标准分析”的观点和方法，实现了楼主的理想：
    当样本空间中的样本点数无穷而且等概率时，也能用样本点数之比来计算事件的概率。

elimqiu

在非标准分析中楼主的设想要成立的话，基数的概念也没法是标准的。这样所得到的东西的意义也就都走样了。