请看同济版《高数》中的这个说法是否有问题？

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luyuanhong

这样的推导，在物理学中是很常见的，物理学家都习惯于这样的推导，推出的结果，往往也是正确的。
但是，如果从严格的标准的数学分析观点来看，这样的推导，其实是很不规范的，存在很多问题。
按照传统的标准的数学分析观点，是不允许将无穷小量当作一个具体的确定的数值来使用的。所以，
取一个无穷小量 dr ，考虑一个无穷小区间 [r,r+dr] ，在标准的数学分析中，其实都是不合法的。
当然，在标准的数学分析中，微分 dr 是可以出现在运算中的。但是，按照标准的数学分析的定义，
微分 dr 就是增量 Δr ，我们可以写 dr＝Δr＝0.1 ，dr＝Δr＝0.2 ，微分 dr 并不是一个无穷小量。
而在本题中出现的 dr 是积分元，积分元 dr 是一个无穷小量，与标准定义的微分 dr 显然不是一回事 。
“不可数无穷多个 dr 构成了有长度的线段”这样的说法，也是很不规范的，不是严格的数学语言。
如果真的要严格按照标准数学分析的一套来推理，必须把积分式看作是求和式的极限，先列出求和式，
然后证明求和式的极限收敛，再计算出求和式的极限，证明它就是所求的积分式，这样做就非常麻烦了。

fm1134

    感谢陆老师的参与！
   
    这样的推导方式中，首先是[r,r+dr]这样的表达方式很成问题，再者说了，
“。。。在[r,r+dr]中，电场力所做的功近似于。。。”，既然是“近似于”，那为
什么最后的结果又是“=”，而不是“≈”呢？这在逻辑上也是自相矛盾的。难道用定
积分算出的结果都是近似值？
    数学是最讲求精确完美的科学了，号称“科学皇后”，可堂堂的教科书上竟然堂
而煌之地出现这样不严肃的表述，真让人感到很遗憾。

wanwna

因为《高等数学》这样的教科书不是让数学系的学生学习用的。而对别的系的学生对数学的要求不可能要求向数学系的学生那么高，于是这样的解释也是正常的，虽然这在数学中是不规范的，但工程中往往是可以的。