从 A(4,3,2) 发出的光线经 B(b,c,0) 和 C(0,β,γ) 反射到达 D(2,0,4)，求 b,c,β,γ

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請問幾何

luyuanhong

题  设空间直角坐标系中，三个坐标面都是反射镜，从 A(4,3,2) 发出的光线到达 B(b,c,0) ，

反射后到达 C(0,β,γ) ，再反射到达 D(2,0,4) ，求 b,c,β,γ 。

解  A(4,3,2) 关于 xOy 面的反射对称点为 A'(4,3,-2) 。

    D(2,0,4) 关于 yOz 面的反射对称点为 D'(-2,0,4) 。

    从 A 经过 B,C 反射到达 D 的光线，可以看作是从虚拟点 A' 直达虚拟点 D' 的光线。

    因为向量 A'D'=(-2,0,4)-(4,3,-2)=(-6,-3,6)=3(-2,-1,2) 。

    所以直线 A'D' 的方程可以表示为 (x-4)/(-2)=(y-3)/(-1)=(z+2)/2 。

    在 A'D' 方程中令 z=0 可得 (x-4)/(-2)=(y-3)/(-1)=(0+2)/2=1 ，可解得

    x-4=-2 ，x=2 ，y-3=-1 ，y=2 。可见 B 点坐标为 B(b,c,0)=B(2,2,0) 。

    在 A'D' 方程中令 x=0 可得 2=(0-4)/(-2)=(y-3)/(-1)=(z+2)/2 ，可解得

    y-3=-2 ，y=1 ，z+2=4 ，z=2 。可见 C 点坐标为 C(0,β,γ)=C(0,1,2) 。

    所以有 b=2 ，c=2 ，β=1 ，γ=2 。