[原创]素数的平方剩余数之间的有趣联系

wsc810

[watermark]先声明两点本人的结论：
  1.若 a为素数P=4m+1的平方剩余，则 -a也为素数P的平方剩余,当P为4m-1的数时则不然。
  2.若 a为素数P的平方剩余,则 1/a( mod P) 也为素数P的平方剩余。
其实一个素数的平方剩余数之间的关系与数字 4 有密切的联系，并且他们之间在某种运算关系下可以形成一个环，其规则就是令X为素数P的一个平方剩余，则有
       X*4=X1 （mod P）
       X1*4=X2( mod P)
       X2*4=X3( mod P)
       ……
       Xn*4=X（mod P）
则用此种方法求出的X1，X2，X3……都是素数P的平方剩余。
      
下面为您介绍素数3--47的平方剩余数的循环链：
3……
1
5……
1 4
7……
1 4 2
11……
1 4 5 9 3
13……（4m+1 的数，发现没有？这六个数从最中间分开 1和12， 4和9，3和10之间的关系）
1 4 3 12 9 10
17……
1 4 16 13
9 2 8 15
19……
1 4 16 7 9 17 11 6 5
23……
1 4 16 18 3 12 2 8 9 13 6
29……
1 4 16 6 24 9 7 28 25 13 23 5 20 22
31……（这个数有3条循环链）
1 4 16 2  8
9 5 20 18 10
25 7 28 19 14
37……
1 4 16 27 34 25 26 30 9 36 33 21 10 3 12 11 7 28
41……
1  4 16 23 10 40 37 25 18 31
9 36 21 2  8  32 5  20 39 33
43……
1 4 16 21 41 35 11
9 36 15 17 25 14 13
6 24 10 40 31 38 23
47……
1 4 16 17 21 37 7 28 18 25 6 24 2 8 32 34 42 27 14 9 36 3 12
现在本人还没有完全发现他们链数的规律，但若是 （P-1）/2为素数的话，则他们只有一条链，如素数7，47 。若（P-1）/2为两个素数的乘积，则按照P1*P2的方式排列，如31 ，43
希望对本问题感兴趣的朋友可以继续跟帖对更大的数做出研究，并写出这些数的循环链。

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