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公式:
x/k∑?[(an-b)x/k]=[f(x)-f(0)]/a+∑p(n)*(x/k)^n*[?(x)-?(0)]
其中
第一个∑的范围:(n=1, j), j=(1,2,3,...,j)
第二个∑的范围:(n=1,∞)
?──函数 y=f(x) 的一阶导数符号
?──函数 y=f(x) 的N阶导数符号
p(n)──序列系数,由a , b 所定,可用递推公式得出。
a≠0, k=aj, │x│< 2πj
此式:当 a=1 , b=0 并且 j → ∞ 也就是 k → ∞ 时,成为一般的定积分公式。
泰勒级数公式反映的是函数与各阶导数之间的关系
此级数公式反映的是函数与各阶导函数之间的关系
递推公式:
a^(t-1)+∑t!/(t-n)!*p(n)*a^(t-n)=t*(a-b)^(t-1)
∑的范围:[n=1, (t-1)], t=(2,3,4,...,t)
例如:t=2
a+2!/1!*p(1)*a=2(a-b)
t=3
a^2+3!/2!*p(1)*a^2+3!/1!*p(2)*a=3(a-b)^2
以此类推!
… …
对于递推公式:
a^(t-1)+∑t!/(t-n)!*p(n)*a^(t-n)=t*(a-b)^(t-1)
当 a=4 , b=1 时
p(1)=1/4
p(2n)=(-1)^n*[2^(2n-1)-1]*B(n)/[2(2n)!]
p(2n+1)=(-1)^n*E(n)/[4(2n)!]
其中:
B(n)──伯努利数
B(1)=1/6,B(2)=1/30,B(3)=1/42,…
E(n)──欧拉数
E(1)=1, E(2)=5, E(3)=61, …
类似的:
当 a=2 , b=1 时
p(2n)=(-1)^n*[2^(2n-1)-1]*B(n)/(2n)!
… …
事实上
p(n)这类序列系数有无穷多种,伯努利数和欧拉数并无特殊性。
前述级数公式
选择函数 y=sin(x)
再设 a=2 , b=1, j=1, 则有 k=2
由于 p(2n-1)=0
可得:
(x/2)cos(x/2)/sin(x)=1/2+∑(-1)^n*p(2n)*(x/2)^(2n)
进行三角函数的变化,并令 x'=x/2
就有: 1/sin(x)=1/x+2∑(-1)^n*p(2n)*x^(2n-1)
类似可得到与伯努利数和欧拉数相关的其它级数公式。
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