试证：从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含数码 9 的项后所得级数收敛，其和不大于 80

elim

题：试证 从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含数码9的项后所得级数收敛，其和不大于80.

elim

不含数码9的 k 位正整数有 8×9^(k-1) 个，其中最小的是 10^(k-1), 最大的是 （10^k-1)(8/9)  (各位都是8）.
1/1,...,1/8,1/10,...,1/88,1/100,...,1/888,.... 它们的和
< 8 + 8(9/10) + 8(9/10)^2 + 8(9/10)^3+... =8(1/(1-9/10)) = 80.

elim

要得到一个不含9的k位数，最高位有 1 到 8 共8种选择，其余 k-1 位有 0 到 8 共 9 种选择，据乘法原理，不含数码 9 的 k 位数共有8×9^(k-1) 个.

王守恩

elim 发表于 2019-2-15 15:55
不含数码9的 k 位正整数有 8×9^(k-1) 个，其中最小的是 10^(k-1), 最大的是 （10^k-1)(8/9)  (各位都是8） ...

这是一道好题！我也来凑凑热闹。
题：试证 从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母是 “好数” 的项后所得级数收敛.
“好数” 指恰好有2个(不多也不少)数码9，且这2个数码9是相邻的数。

elim

谢谢王守恩网友的参与。这么弄出来的级数是发散的：

elim

解释：
k (>2) 位“好数”首位非9的有 8(k-2)9^(k-3) 个，首位为9的有 9^(k-2) 个。每个k 位数的倒数都大于 1/10^k.

上贴最后一个级数的一般项趋于 1.

elim

希望永远网友参与讨论, 叙述解题思路. 精进级数有关的分析能力.

王守恩

elim 发表于 2019-2-17 00:55
谢谢王守恩网友的参与。这么弄出来的级数是发散的：

(1)是主帖对应的级数。
(2),(3),(4)是主帖的扩展，允许某些数位上的数码可以是9
(5),(6),(7)还是主帖的扩展，只不过是允许最高位上的数码也可以是9。
(8)说明 4 楼弄出来的级数是发散的。
谢谢elim！这是一道很好的题目，引人回味，催人上进。谢谢elim！

王守恩

题：试证 从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含数码 9 的项后所得级数收敛，其和不大于80.
题：试证 从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含数码 1 的项后所得级数收敛，其和不大于24.

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：