实数 x, y 满足 2x^2+xy-y^2=1，求分式函数 (x-2y)／(5x^2-2xy+2y^2)的最大值和最小值

天山草@ · 发表于 2021-4-4 14:25

若实数 \( x, y\) 满足 \( 2 x^2 + x y - y^2 = 1\)，

求\(\frac{x-2y}{5 x^2 - 2 x y + 2 y^2} \)的最大值和最小值。

取最值时 \(x， y \) 等于多少？

天山草@ · 发表于 2021-4-4 21:08

这个题目，约束方程是一条双曲线。待求式是系列椭圆，当椭圆与双曲线相切时，切点处的 x, y 坐标就是待求式取得最值时的坐标。

波斯猫猫 · 发表于 2021-4-4 21:18

本帖最后由波斯猫猫于 2021-4-4 21:20 编辑

思路：由2x^2+xy-y^2=1有（x+y）（2x-y）=1。令x+y=tanθ，则2x-y=cotθ。这样可以对要解决的问题做降元处理。....

天山草@ · 发表于 2021-4-5 15:10

波斯猫猫发表于 2021-4-4 21:18
思路：由2x^2+xy-y^2=1有（x+y）（2x-y）=1。令x+y=tanθ，则2x-y=cotθ。这样可以对要解决的问题做降元处 ...

按下面方法也可以降元处理：

然后呢？如何求最大最小？

中国上海市 · 发表于 2021-4-5 20:26

本帖最后由中国上海市于 2021-4-5 12:28 编辑

你就令m-1/m=u，再令u/2+u2=t，用一元二次方程解题

中国上海市 · 发表于 2021-4-6 16:29

本帖最后由中国上海市于 2021-4-6 13:26 编辑

解答过程附件文件

中国上海市 · 发表于 2021-4-6 19:53

天山草@ · 发表于 2021-4-7 14:51

本帖最后由天山草@ 于 2021-4-7 20:53 编辑

整理一下中国上海市的方法如下。其中用到了求导数。

luyuanhong · 发表于 2021-4-7 16:19

楼上天山草@ 的帖子和中国上海市的解答都很好！已收藏。

中国上海市 · 发表于 2021-4-8 05:55

本帖最后由中国上海市于 2021-4-8 10:00 编辑

根据天山草的步骤往下做，其实很简单了

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