梅涅劳斯定理新解

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2009/01/03 01:38pm 第 2 次编辑]




三角形 ABC 外有一条直线，三角形各边的延长线与之交于 D、E、F 三点，如上图。
图中有许多线段，这些线段的长度之间有一定关系，其中就有“梅涅劳斯定理”之说。
不过，人们心目中的“梅涅劳斯定理”可能与本人理解的不尽相同——因为梅氏定理说的是六条线段构成的三个比例，它们之积恒等于 1。而本人认为这定理中也可以有八条线段、构成四个比例，其乘积也恒等于 1，如上图所示。
    上图中有许多个等式，难以记忆。但是，这些等式都有一个共同的规律，记住了这个规律，就记住了更加普遍的梅氏定理，或者推广的梅氏定理。
    假定 A、B、C、D、E、F 是六个城市，您在其中一个城市居住。现在您从居住地出发，打算周游其它五个城市后，再回到居住地。游历路线可以有许多种，但必须遵守一个规律，就是每行进二段路，做一个二段路长度的“比例”，这两段路要在同一条直线上。把这些“比例”值相乘。当您回到出发地时，这些比例相乘的结果就是 1。
    在图中各式中，将每个字母看成是“分子”、“分母”能相约的（相同字母可约去），则相约的结果就是 1。如果“约”不干净，那公式就是写错了。
    例如最后那个公式：您的居住地就是城市 C，从 C 出发，走到 E 市，再沿同一直线去城市 A；这是一个回合，构成比例 CE/EA。第二个回合从 A 市出发，先到 B，再从 B 到 F；这第二个回合，构成比例 AB/BF。第三个回合从 F 出发，先到 E，再从 E 到 D，构成比例 FE/ED。第四个回合，从 D 出发，先到 B，再回到 C，就完成了旅游。最后一个回合构成比例 DB/BC。这四个比例相乘，结果必为 1。
    从 C 点出发时，可以有三种选择，因此就可写出几种公式。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/01/21 10:30pm 第 2 次编辑]

楼上天山草发现的这个定理，确实很妙！而且这个定理还可以进一步推广到5个、6个比例的乘积，例如还有：
(AB/BF)(FD/DE)(EF/FD)(DB/BC)(CE/EA)=1 ，(AB/BF)(FA/AB)(BC/CD)(DF/FE)(EA/AC)(CE/EA)=1 ， 等等。
对 1个、2个比例的乘积，定理也成立，例如： AB/BA=1 ，(AF/FB)(BF/FA)=1 ，等等，不过这太简单了，几乎不值得一提。
对6个以上的比例的乘积，因为总是可以拆分成几个不超过6个比例的乘积的乘积，所以，定理一定也成立。

天山草

谢谢陆教授光临本帖。只有您是识货的。

denglongshan

两位的发现很巧妙

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/01/21 10:33pm 第 1 次编辑]

关于这个定理的证明，参看我在《数学中国》《基础数学》发表的帖子：
“完全四边形环游定理”
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=5362

jzkyllcjl

你们都很好！

波浪

    怎么啦草哥？难道我们两口子不来给您拜个年，您就不出山了吗？！
     :em01:  :em02:  :em03:  :em04:  :em05:  :em06:  :em07:  :em08:  :em09:  :em10:  :em11:  :em12:  :em13:  :em14:  :em15:  :em16:

波浪

    天山草大哥：我就不信奥巴马这小子上任后就会超过我！ :em11:  :em12:

尚九天

下面引用由愚蠢的驴子在 2009/02/04 01:33am 发表的内容：
还是让偶给大家展示一下“没捏老实腚里”的真相吧！

    驴子的本事真大，
    能从不穿裤子的那里，
                        ---- 找到腚里(定理)。

吴代业２

能人真多！