三论华罗庚的《从杨辉三角谈起》 ——秦九韶的开方术 倪则均，2015年2月5日。

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1，一位误入仕途的数学家。
华罗庚在他的《从杨辉三角谈起》的第三节“开方”，似乎仅仅只是介绍了当今数学里的开方运算的问题，根本没有涉及到《九章算术》里的“开方术”——我国古代的解方程的问题。更没有进一步论述到秦九韶的“正负开方术”——我国古代的解高次方程的问题。然而，我国现在的数史学家，将秦九韶的《数书九章》，与《九章算术》予以相提并论，也是不对的。秦九韶的《数书九章》，对于我国的古代数学确实有很大的贡献，但是与其同时代的杨辉、李冶、朱世杰相比还是略显逊色的。
秦九韶（1202—1261）普州安岳人，其父为绍熙四年进士，官任巴州守。1219年川陕发生兵变，应该就是这一年，秦九韶由于被举为“义兵首”而获得了官衔。义兵是一种地方武装，“义兵首”原本不入官阶，然而南宋末年，或许由于军事的需要，特别允许“义兵首”可以不用通过科举而获得官职，当然，秦九韶的当官，可能也是属于其父的以权谋私。其实，秦九韶根本不是一个当官的料，如果他不当官的话，他的数学成就应该会超过杨、李、朱的。
巴州被哗变军队攻陷后，其父携全家辗转逃至都城临安，先任工部郎中，后升秘书少监，使得秦九韶能够阅读到大量的珍贵典籍，可以有机会接触到许多天文历法和过程建筑方面的专家。秦九韶在其《数书九章》自序中说：“早岁侍亲中都，因得访习于太史，又尝从隐君子受数学”。隐君子应是指著名的道教学者陈元靓，由此可见，秦九韶的数学，完全是从民间学到的。
1225年，秦九韶随父返回四川，在其父亲身边当了十年小官。1235年，元兵攻占四川，秦九韶从此永远流落他乡。1244年，秦九韶因母丧离任守孝，让他终于可以静下心来，专心致志的研究数学，1247年，他的《数书九章》终于完成，由此可见，秦九韶具有非比一般的悟性。当然秦九韶的这部《数书九章》，不是写给一般民众看的，这是他要呈献给皇帝的自荐奏章，他希望朝庭能将他调任为国子监的数学教授，让他可以集中精力研究数学。然而，那时的南宋王朝已在风雨飘摇之中，谁有心思去研究他的《数书九章》。
秦九韶的《数书九章》，完全是仿照《九章算术》的形式所写，全书分为九个大类，它们是：大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅和市易。每类各列九个问题，其表述顺序是：问—答—术—草—图。有人认为，如果与《九章算术》相比，《数书九章》对于问题的解答更具有示范性和实用性。从问题的复杂程度、抽象程度与解题水平上，后者均高于前者。笔者则认为《九章算术》汇集了当时中国数学的最高水平，然而，秦九韶的《数书九章》，如果从其内容广泛性上来讲，它远远不如比它还早一些的，杨辉的大量数学著作。若是从研究的深度上来讲，它又远远不如比它还早一些的，李冶的《测圆海镜》，因此，秦九韶的《数书九章》，是根本不能与《九章算术》相提并论的。
2，“正负开方术”与数值计算的问题。
在我国的古代数学中，把求解一元高次方程正根的方法称为“开方术”，它是我国的古代数学中，最为完善的数学内容之一。秦九韶在《九章算术》“开方术”的基础上，以贾宪的增乘开方术为主体，以刘益方程系数不受的思想为主导，创造出高次方程的数值解法。在《数书九章》一书中，秦九韶运用他的“正负开方术”解决了21个问题，共列出了26个方程，其中20个二次方程，1个三次方程，4个四次方程，1个十次方程，大都给出了详细的解答过程，笔者认为，这是秦九韶最杰出的数学成就。
秦九韶将方程分成了许多类型，并且取了一些十分有趣的名称，除了沿袭前人称未知数为“天元数”之外，方程的奇次项系数为零时叫做“开玲珑某乘方”；当最高项系数不为1时，则称之为“开连枝某乘方”；当方程经代换后，所得新方程常数项符号不变，且绝对值增大时，就叫做“投胎”，而如果常数项由负变正，则称为“换骨”。秦九韶把方程中的最高次项系数称为“隅”，一次项系数称为“方”，常数项称为“实”，而其余各项系数称为“廉”；并且给出了方程中系数为正负的规则：“‘商’常为正（根永远是正的），‘实’常为负，‘从’常为正（冠以‘从’字的项是正项），‘益’常为负（冠以‘益’字的项是负项）。”
我在“一论华罗庚的《从杨辉三角谈起》——完全是文不对题”一文里，已经指出我国南宋时候的秦九韶，根据“易卦三角”所推导出的，对于高次代数方程的数值解法，比意大利的鲁菲尼（1765—1822），和英国霍纳（1786—1837）的“鲁菲—霍纳法”，更为井然有序，至今仍然还是最为高明的解法。由此“秦九韶法”所编制出的程序，通过电子计算机计算，也是最为快捷、安全、稳定、可靠。
例如，对于多项式0.0625x4+0.425x3+1.215x2+1.912x+2.1296的数值计算来说，如果先算出各项的乘积，然后再作相加，需要做十次乘法运算和四次加法运算。但是，若是改用以下算法：{[（0.0625x+0.425）x+1.215]x+1.912}x+2.1296，只要做四次乘法运算和四次加法运算，这个方法就是“秦九韶算法”。对于多项式p（x）=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an来说，如果要算出x=α处的值p（α），则记k个内括号的值为bk，又记b0=a0，bn= p（α），则“秦九韶算法”计算公式为：
b0=a0，
bk=ak+αbk-1，k=1，2，…，n，
p（α）= bn。
3，“大衍求一术”与三斜求积公式。
现在有不少人都认为，完整的孙子定理——中国剩余定理，是由秦九韶给出的，是英国传教士伟烈亚力，于1852年传到欧洲去的。其实，祖冲之在推算其“大明历”的“上元积年”时，应该已经给出了完整的孙子定理。因此，秦九韶只是将完整的孙子定理，从历法之中分离了出来而已。对于这个问题，我在“《孙子算经》与“孙子定理”的问题”一文中已作说明。
秦九韶的“大衍求一术”，是关于《孙子算经》中“物不知数”问题的一般性解法，同时也是中国古代数学中十分著名的成就之一，更是秦九韶最为得意的数学发现，所以他把这个问题的解法，列为《数书九章》卷一的第一题的“术”，称为“大衍求一术”，足见秦九韶对于“大衍求一术”是何等的重视。其实，所谓的“大衍求一术”，是指如何得到与定数a（模数）互素的奇数g（与模互素的元素）的乘法逆元——乘数k的方法。
然而，秦九韶所给出的“大衍求一术”，其文字内容却是极其含糊：“置奇右上，定居右下。立天元一于左上，先以右上除右下，所得商数，与左上一相生，入左下。然后乃以右行上下，以少除多，递互除之。所得商数，随即递互累乘，归左行上下，须使右上末后奇一而止。乃验左上所得，以为乘率，或奇数已具单一者，便为乘率。”那么，秦九韶为什么要将他的“大衍求一术”，搞得如此的晦涩难懂，其原因前面已作解释。其实，秦九韶的“大衍求一术”只是一个算法，若用现代的符号予以表示，这个算法的程序如下：
a=gq1+r1，0＜r1＜g1。————k1=－q1；
g=r1q2+r2，0＜r2＜r1。————k2=－k1q2+1；
r1=r2q3+r3，0＜r3＜r2。————k3=－k2q3+k1；
r2=r3q4+r4，0＜r4＜r3。————k4=－k3q4+k2；
……
Rn-2=rn-1qn+rn，0＜rn＜rn-1。————kn=－kn-1qn+kn-2。
最后，若rn=1时，就不再往下计算了，这时的k就是所求的乘数；当奇数g=1时，则直接取ki=1。显然，所谓“求一术”就是用辗转相除，直到余数等于1时为止，从而得出乘数ki的方法。其实，秦九韶的这个“大衍求一术”，也是一个可以迅速解开，一个二元一次不定方程ax+by=c的方法。
秦九韶在他的《数书九章》里，还给出了一个三斜求积的公式，这个三斜求积的公式与古希腊的海伦公式完全相同，所以这个公式，如果不是秦九韶抄袭海伦的，那么就是海伦抄袭秦九韶的。我在“微科普”所发表的“表素数为两平方和的唯一性”一文中已经指出：“1582年意大利传教士利玛窦，带了欧几里得的《几何原本》来到我国，由此开始实现了中西方数学之间的直接的双向交流。此前一直只有中国数学经过阿拉伯，简接单向的传往西方欧洲各国。”因此，秦九韶的三斜求积公式，决不会是抄袭海伦的。

红树

可惜，海伦公式，不可靠啊！有问题存在…