“勾股整数的推广引申”的被退，还是睁着眼睛说瞎话。

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“勾股整数的推广引申”是我于2012年5月30日，递送给“火花”的第32篇文章，也是我系统论述勾股理论，即各类欧拉群，它们的二次剩余问题的第四篇文章。我的上一篇文章“种子勾股数的唯一性”，由于篇幅的关系没有继续讨论，可以得到勾股整数的第三种方法。这个第三种方法称为恒等关系法，它揭示了两个二数平方和的乘积，必定可以表示为两个新的二数的平方和的特性。这个特性规律，已经涉及到一个只有两个素因子的和数环，与其两个分环之间的关系问题。
我的这篇“勾股整数的推广引申”，也是在2012年10月31日退稿的，其退稿意见是：“经专家审阅，认为本文学术价值不强。您的来稿不符合本栏目的要求，因此予以退稿。”这是什么话？这是那家的道理？难道说我这一篇完全揭示了，两个二数平方和之间的客观规律的文章，竟然会学术价值不强，而他们的那些根本不符合客观规律的东西，反而变得很高很高了。事实上，他们将冯克勤错误百出的《平方和》捧得很高很高，将高斯的大部分内容都是错的《算术研究》奉为经典。
或许这些审稿专家，他们所说的那个无限之多的素数序列，在我实际证明了全部都是错的之后，仍然还会睁着眼睛说瞎话，硬要说他们是对的，是我错到了极点。现在已经到了必须复兴中国数学的时候了，因此不管你的官有多大，也决不会有人允许你那样的任意指鹿为马的。倪则均，2015年1月24日。

勾股整数的推广引申
倪则均
一，费马对于勾股数的推广
费马大约于1637年左右，得到了一本由巴歇所翻译的《丢番图算术》由此激发了他研究正整数的兴趣。对于正整数的特性规律，费马提出了大量的猜想，其中除了对于费马素数的猜想出了点儿错之外，其它的许多猜想似乎都是对的，足见他具有非比一般的敏锐洞察能力，称他为业余数学之王可谓恰如其分。
应该说勾股整数问题，是其诸多猜想中的核心内容。费马在1640年给梅森的信中，首先提出了一个p=4k+1形素数，可以惟一的表示为二个数的平方和的问题，他说他能用无穷递降法予以证明。大概也是在这封信里，他同时也提出了梅素素数问题。
1654年他在给帕斯卡的信中，再次强调了这个问题的重要意义。由于在赌博问题上费马曾给予过帕斯卡大力帮助，因此在整数问题上，他也希望能得到帕斯卡的帮助，然而费马的求援却被帕斯卡拒绝了，由此足见帕斯卡的为人，他将我国的“贾宪三角”占为己有，也就毫不奇怪了。
1659年费马将证明的要点告诉了卡尔卡维，同时他还断言，p=4k+1形素数的平方也只能以一种，表示为二个数的平方之和，但这种素数的三次方和四次方，就能以两种方式表示为两个平方数之和。它们的五次方和六次方，就能以三种方式表示为两个平方数之和。按照如此规律可以不断类推下去。
这就是说，一个p=4k+1形素数的n次方，就能以[（n-1）/2]+1种方式表示为两个平方数之和，[（n-1）/2]为高斯符号，表示取其最大正整数。费马或许是根据以下实算结果，而对勾股数予以上述推广的。当然，上述推广规律是否正确，还得通过验证才行。
5=12+22，52=32+42，53=22+112=52+102，54=72+242=152+202，
55=382+412=102+552=252+502，56=442+1172=352+1202=752+1002，……
二，对于上述推广规律的验证
根据以上实例我们应该不难看出，一个p=4k+1形素数的各次方，在它们所表示为两个平方数之和的方式中，总是只有一种方式为无公约数的本原勾股数，其它各种方式都是具有公约数的显然勾股数。这些显然勾股数的公约数，都是这个p=4k+1形素数的各个低次幂，因此显然勾股数的数量为[（n-1）/2]，加上一个本原勾股数，所以一个p=4k+1形素数的n次方，就能以[（n-1）/2]+1种方式表示为两个平方数之和。
显而易见，如果从各个显然勾股数里，约去它们的公约数——p=4k+1形素数的各个低次幂，得到的则是各个低阶的本原勾股数。那么，为什么一个p=4k+1形素数的各次方，在它们所表示为两个平方数之和的方式中，总是只有一种方式为无公约数的本原勾股数呢？对此，我们可以运用“种子勾股数的惟一性”一文里，证明种子勾股数惟一性的同样方法来予以证明。
如果pn-1=a2+b2是pn-1的一组本原勾股数，那么就有ag^k pn-2≡b，bg^3k pn-2≡a（mod pn-1），变换得到2ab g^k pn-2≡a2-b2，（a2-b2）g^3k pn-2≡2ab（mod pn-1）。这是因为2ab g^k pn-2≡2b2 g^2k pn-2≡（1- g^2k pn-2）b2 g^2k pn-2≡（g^2k pn-2-1）b2≡b2 g^2k pn-2- b2≡a2-b2（mod pn-1），（a2-b2）g^3k pn-2≡b2（g^2k pn-2-1）g^3k pn-2≡b2 g^k pn-2（g^4k pn-2- g^2k pn-2）≡2b2 g^k pn-2≡2ab（mod pn-1）。
由于a2-b2≡2abg^kpn-2≡2abg^（4k2pn-2+kpn-2）≡2abg^kpn-1，2ab≡（a2-b2）g^3k pn-2≡（a2-b2）g^（12k pn-2+3kpn-2）≡（a2-b2）g^3kpn-1，所以，2ab和a2-b2是pn里的一组本原勾股数。由于各阶本原勾股数。都是从惟一的种子勾股数开始，按照上述方法逐阶提升得到，因此其惟一性始终保持不变。
三，勾股数之间的乘法运算
费马在对勾股数作出上述推广之前，肯定已经对《丢番图算术》的第十九命题做过了深入的研究。此命题为如果p1=a2+b2，p2=c2+d2，则p1p2=（ac+bd）2+（ad-bc）2=（ac-bd）2+（ad+bc）2。因为（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2= a2c2+2abcd+b2d2+ a2d2-2abcd+b2c2=（ac+bd）2+（ad-bc）2，（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=a2c2-2abcd+b2d2+ a2d2+2abcd+b2c2=（ac-bd）2+（ad+bc）2
因此，如果p1，p2，…，pn都是4k+1形素数，那么p1p2…pn不仅可以表示为2^n-1种不同方式的二个数的平方之和，而且这些勾股数全部都是本原勾股数。然而对于pn来说，尽管也可以运用这个乘法公式，将它表示为2^n-1种方式的二个数的平方之和，但是它们必定可以转换成[（n-1）/2]+1种不同的方式，并且其中只可能有一组是本原勾股数。
对于pn来说，如何将其由乘法公式所得到的2^n-1种方式，转换成[（n-1）/2]+1种不同的方式，极其繁琐复杂，似乎没有必要过多予以深入。下面仅以p2和p3为例作一点简单的介绍，由于p=a2+b2，那么运用乘法运算公式则有
P2=（a2+b2）（a2+b2）=（a2+b2）2+（ab-ab）2=（a2+b2）2
P2=（a2+b2）（a2+b2）=（a2-b2）2+（ab+ab）2=（a2-b2）2+（2ab）2
显然这是对于勾股公式（a2+b2）2=（a2-b2）2+（2ab）2的推导。
P3=（a2+b2）[（a2-b2）2+（2ab）2]=[a（a2-b2）+2ab2] 2+[2a2b-b（a2-b2）]2
=（a3+ab2）2+（a2b+b3）2=a2P2+b2P2
P3=（a2+b2）[（a2-b2）2+（2ab）2]=[a（a2-b2）-2ab2] 2+[2a2b+b（a2-b2）]2
=（a3-3ab2）2+（3a2b-b3）2
前式揭示了由二个本原勾股数相乘，得到具有公约数的显然勾股数的转换过程，后式则揭示了由二个本原勾股数相乘，仍然得到一个本原勾股数的过程。这个本原勾股数又可以按照上面所介绍的方法，将它转换成为3a2b-b3≡（a3-3ab2）g^3k p2，a3-3ab2≡（3a2b-b3）g^3k p2（mod p3）形式。2012年5月30日。